Что означает слово "доказывать"?Связано ли оно как-либо с верой?

ДоКАЗательство это и поКАЗ и рассКАЗ.
В любом случае, поКАЗания давать и рассКАЗывать что-то придётся.
А потом, в зависимости от доКАЗательств поКАЗана КАЗнь и прочие оКАЗии.

А вера это уверенность только лишь на уровне чувств, доказательств не требующая.

Вера на то и вера, что принимается без доказательств.

Доказательство - продукт разума, вера - глупости.

Читаем в Большом толковом словаре под ред. Кузнецова:

Доказательство
1. Неопровержимый довод или факт, подтверждающий истинность чего-л.
2. Система умозаключений, служащая для установления нового положения на основании данных, принимаемых за истинные.

Т. е. доказательство опирается на и выводится из неопровержимого факта (фактов) или аксиом (ы) . Можно сказать, что доказательство связано с "верой" (или с согласием по умолчанию) в то, что "неопровержимый факт" или аксиома являются действительно истинными.

Но чаще вера подразумевает принятие чего-либо за истину без логических доказательств (потому что их нет или нет желания или возможности их искать) , на основе иррациональных моментов (интуиция, симпатия, любовь, желание во что-то верить, убежденность в том, что кому-либо можно верить в принципе, и прочие чувства или трансцендентные мотивы, которые сложно эксплицировать и разбить на части).

Этот термин произошел от глагола «docere» – учить, обучать. Корни этого слова уходят в индоевропейский праязык, где оно, по одной из версий, означало жест вытянутых рук, связанный с приемом или получением чего-либо. На базе этого слова были образованы слова «doceo»– учу, обучаю, «doctor» – ученый, «doctrina» – учение, и наконец, «documentum» – то, что учит, поучительный пример.
Никакой религии:)