Как проспрягать по падежам имя Данила?

Например: http://www.imena.org/declension.html
Личные имена, отчества и фамилии в русском языке склоняются, если их конечные элементы поддаются русскому словоизменению. Как правило, склоняются имена и фамилии мужчин, оканчивающиеся на твердый согласный звук (Иван) , на мягкий согласный (Игорь) , на -й (Андрей) , а также имена и фамилии мужчин и женщин, оканчивающиеся на -а, -я, -ия, -ья, -ея (Фома, Никита, Илья, Анна, Наталия/Наталья, Виринея) . Если принимаемые в русский язык иноязычные имена и фамилии имеют указанные конечные элементы, они подстраиваются к имеющимся в русском языке типам склонения (Айдын, Наиль, Тукай, Мустафа, Нафиса, Асия, Лючия) . Обязательно склоняются отчества как собственно русские образования, сама форма которых предусматривает их изменение по падежам. Конечные элементы имен личных, которые были выделены в правилах образования отчеств, во многом значимы и для склонения.

Если в свидетельстве о рождении записано имя Данила, тогда родители правы, а если в свидетельстве о рожд. имя мальчика Данил или Даниил, то в этом случае имя Данила просторечная форма. (Данилой его могут называть дома, в классе). Вы же не станете подписывать тетрадь мальчика по имени Пётр, как тетрадь Пети? Вот и здесь то же самое. Тетрадь Иванова Данила (от Данил). Тетрадь Иванова Данилы (от Данила). В данном случае родители правы.
Вот так склоняется имя Данила http://www.imena.org/decl_mn.html
Только не путайте терминологию проспрягать и просклонять: спрягают глаголы, в Вашем случае просклонять, т. е. изменить по падежам.

Им. Данила
Род. Данила
Дат. Даниле
Вин. Данила
Твор. Данилой
пред. Даниле