В учебнике написано, что говорить "пятидесятью пятью годами" - это ошибка! А как тогда надо это говорить?

в числительном ПЯТЬДЕСЯТ склоняются ОБЕ части "пять" и "десять" , как существительные женского рода 3-го склонения:
Т. п (чем? ) пятЬЮдесятЬЮ пятЬЮ--печЬЮ, тетрадЬЮ, матерЬЮ, дочерЬЮ

конечно ошибка.
пятьюдесятью годами

Я не мог-бы так говорить, меня тогда еще не было : )

Почти во всех ответах неточности: надо говорить пятьюдесятью пятью годами.

пятьюдесятью пятью годами (позже....)

Автор учебника обманывает.

В сложных словах могут спрягаться не оба слова, а последнее, поэтому правильно будет пятИдесятИ пятьЮ годами позже.

Числительные не спрягаются. а склоняются.
Пятьюдесятью пятью годами.

Пятидесяти пятью

пятьюдесятью

пятьюдесятью пятью годами

Напиши полностью это предложение. Иначе не понятно.

Пятьюдесятью годами)))

Исходное словосочетание в именительном падеже - пятьдесят пять лет. Для начала, если трудно, разбейте на отдельные семы (слова) : пять, десять, пять, лет. Затем проспрягайте их по падежам.
Им. пад. (кто? что? ) пять, десять, пять, лет.
Род. пад (нет) (кого? чего? ) пяти, десяти, пяти, лет.
Дат. пад (дать) (кому? чему? ) пяти, десяти, пяти, летам (годам) .
Вин. пад. (винить) (кого? что? ) пять, десять, пять, лет.
Твор. пад. (творить) (кем? чем? ) пятьЮ, десятьЮ, пятьЮ, годАМИ
Предл. пад. (о ком? о чём? ) о пяти, о десяти, о пяти, о годах

Ещё раз: для того, чтобы правильно определить окончания, нужно проспрягать по падежам данное словосочетание, итак:
Им. пад. (кто? что? ) пятьдесят пять лет
Род. пад (нет) (кого? чего? ) пятИдесятИ пятИ лет
Дат. пад (дать) (кому? чему? ) пятИдесятИ пятИ годам
Вин. пад. (винить) (кого? что? ) пятьдесят пять лет
Твор. пад. (творить) (кем? чем? ) пятьЮдесятьЮ пятьЮ годАМИ
Предл. пад. (о ком? о чём? ) о пятидесяти пяти годах

В Вашем случае это словосочетание употреблено как раз в творительном падеже, т. е.
(творить) (кем? чем? ) пятьЮдесятьЮ пятьЮ годАМИ.

Думаю, теперь Вам должно всё стать ясным.