Как правильно писать и, главное, ПОЧЕМУ: борЯтся или борЮтся, надеЯтся или надеЮтся?

И, А, Я - 2 спряжение:
все глаголы, что на -ИТЬ
(кроме БРИТЬ, СТЕЛИТЬ, ЗИЖДИТЬСЯ, ЗЫБИТЬСЯ)
+ 11 исключений:
гнать, держать, смотреть и видеть,
дышать, слышать, ненавидеть,
и зависеть, и терпеть,
и обидеть, и вертеть.

Все остальные- 1 спряжение -Е, У, Ю.
бороться-борются
надеяться-надеются (1 спр.)

Это зависит от вида спряжения глагола. Учите правило.

Традиционные написания/правила, потерявшие смысл в результате изменения языка и ставшие формальными, требуют формальных/бессмысленных способов запоминания/применения.
Это относится к блоку правил спряжения.

I / II. В печатной И две палки (глаголы на -ить II спряжения) . На -ить - пиши И. В остальных - Е. Смысла не ищи.
Исключения: гнать, дышать, терпеть, обидеть и прочие (выучить в скороговорку до отупения. Не на -ить, должно быть Е, но это исключение - пиши И. Смысла не ищи.
Они.. . Закон первого крика (Уа) : на -ить - А, в остальных - У. С поправкой на А=Я, а У=Ю. И на всё те же исключения (скороговорка) . Смысла не ищи.

БорОться: не на -ить, не исключение (скороговорка) . БорЕшься, борЮтся.
Надеяться: без ударения - см. словарь, если не помню, и запоминаю. Не на -ить, не исключение (скороговорка) . НадеЕшься, надеЮтся.

Смысла - не ищи.

надеяться-что делать? (инфинетив)
надеются-что делают? (они)