"Отменяет" ли тире запятую перед собой?

Нет

Ответ на вопрос, отменяет ли тире запятую, однозначный: нет! В любом случае, когда запятая нужна была бы, если бы тире не было, запятая обязательна. Перефразировать предложения не надо, иначе вся пунктуация может измениться.
В последнем ответе (Rail) пунктуация в перефразированном предложении неверная. Тире там уже не нужно.
Да и в исходном предложении тире лишнее, так как в последней части сложного предложения нет пропущенных слов, это предложение не является неполным.

Я бы тире не ставил - зачем оно здесь? А запятую оставил.
Или другой вариант:
В Европе тот, кто становится богатым - сталкивается с подозрительностью, а тот, кто рожден богатым - вызывает уважение. ;-)

да, нужна - закрытие оборота

В данном конкретном примере я бы не поставил. Но в общем случае тире не отменяет запятой.

Безусловно не нужна. Запятая в подобном случае употребляется только в упортеблении прямой речи
Несмотря на это, - сказал он, - я могу остаться

Нужна!

не нужна

В примере тире не нужно. :) А запятая нужна, т. к. "закрывает" оборот.

Что касается вопроса (ведь он важнее, а не пример?) , то ответ такой: тире запятую не отменяет (мухи -- отдельно, котлеты -- отдельно :)). И запятая не отменяет тире. :) Пример: "то, что здесь написано, --правда". Ещё: "не поставить запятую после причастного оборота, стоящего здесь перед тире, --ошибка". :)

Удачи!

нет конечно

Согласен с Alleine Frau (та, у которой картинка Белоснежки из клипа Rammstein, вроде) .
Запятая перед тире в данном предложении служит для закрытия оборота. Т. е. можно заменить "тот, кто рожден богатым" на "рожденный богатым", получим следующее предлодение:
"В Европе тот, кто становится богатым, сталкивается с подозрительностью, а рожденный богатым - вызывает уважение. "

Однозначно, не нужна.