корень слова причёска? какой?

Корень: ЧЕС- (чёс-) с чередованием "с-ш".
Тащить - это другой корень, к чес- отношения не имеет.
Тщить (ся) - третий (ещё один) корень, к первым двум также отношения не имеет.

Известные словари серьёзных, признанных авторов это подтверждают. Словари: В. Даля, Ушакова, Ожегова, М. Фасмера, Т. Ефремовой и другие.

http://www.classes.ru/all-russian/russian-dictionary-Vasmer-term-13360.htm
http://www.classes.ru/all-russian/russian-dictionary-Vasmer-term-15632.htm
http://mirslovarei.com/content_kuznec/tshhit-sja-132584.html

чеса́ть:

чешу́, чёс зада́ть к. -л. , чёска "пакля", па́чесы м. , мн. , па́чеси ж. , мн. "очески от вторичного чесания", укр. чеса́ти, чешу́, па́чоси мн. "очески, пакля", блр. чеса́ць, др. -русск. чесати, чешу, болг. че́ша "чешу", сербохорв. чѐсати, че̏ше̑м, словен. čésati, čéšem, чеш. česati, слвц. čеsаt᾽, др. -польск. сzоsаć, польск. сzеsаć, czeszę, в. -луж. čеsаć, н. -луж. сеsаś, полаб. césat.

Сюда же: чешуя́.

Праславянское: česati, čеšǫ.

Другая ступень чередования гласных: коса́, косма́, косну́ться (см.) ; родственно:
лит. kasýti, kasaũ "почесывать, скрести", kàsti, kasù,
лтш. kasît "чесать, сгребать, царапать", kast "грабить граблями", др. -инд. kассhū́ṣ ж.
"чесотка" (Лиден, Тосhаr. St. 12 и сл.) ,
греч. κεσκέον "пакля", ξέω,
инф. аор. ξέσσαι "скрести, разглаживать",
κέωρος "крапива",
ирл. сír ж. (*kēsrā) "гребешок",
хетт. kišša- "чесать, причесывать".

А "чёс" слово откуда?
От слова "тащить", тщёс.
Когда чешут совершают именно тащущее движение.
Причёска, получается, притащёска, а расчёска —- растащёска.

чес

Чес
чесать

"чес" подбирай однокоренные слова чесать, прическа и т. д.

чес будет потому что от слова чесать