Являются ли однокоренными слова ПОДВИГ и ПОДВИЖНИК?

Конечно. Есть слово подвизаться (действовать) . Тот, кто подвизается - подвижник. А его деяния - подвиги.

ПО́ДВИГ, -а, м. Героический, самоотверженный поступок, важное по своему значению действие, совершаемое в трудных условиях. Боевые подвиги. Патриотический подвиг. □ Взрывая скалы, землю роя, Водой Днепра пороги кроя, Мы на плотине Днепростроя Свершали подвиг трудовой. Д. Бедный, Пороги. [Комсомолец] ворвался в укрепленный дзот противника, подавив гранатами пулемет. Прекрасно то, что, совершив этот подвиг, он остался жив. Коптяева, Дружба. || чего. Самоотверженный поступок, поведение, вызванные каким-л. чувством. Есть натуры, будто заранее предназначенные для тихого подвига любви, соединенной с печалью и заботой. Короленко, Слепой музыкант. Кто мог сказать, что душа его еще способна на подвиг страсти, на восторг полного самоотречения. Павленко, Осенняя заря. || мн. ч. (по́двиги, -ов) . Разг. неодобр. Похождения, проделки. Брак прикрыл бы его прошлое, а может быть, обеспечил бы от злоязычия и будущие подвиги, от которых он отнюдь не намеревался отказаться. Салтыков-Щедрин, Пошехонская старина.

ПОДВИ́ЖНИК, -а, м.
1. Тот, кто из религиозных побуждений подвергал себя лишениям. Христианские подвижники.
2. Высок. Тот, кто самоотверженно борется за достижение высоких целей на каком-л. трудном поприще. Подвижник революционной борьбы. Подвижники искусства. □ Множество великих имен мы подарили миру. Там были мечтатели и подвижники, люди глубочайшего социального прозренья, планировщики вселенной, разгадчики материи, строители и поэты. Леонов, Величавая слава.