Есть ли наука, которая изучает первозначения слов языка через анализ однокоренных слов в языках индоевропейской "семьи"?

Этим занимается "Этимология".

У этой науки есть обширный инструментарий по восстановлению древних форм слов и установления связей и родственных отношений между языками. Конечно и в ней много белых пятен, но на это есть объективные причины. Язык - явление очень подвижное, а технологии документирования существует очень недавно.

Существует и так называемая "народная этимология", ярким представителем которой является М. Задорнов.

Есть. Это сравнительная лингвистика.
Но, связи не совсем такие, как ты привёл. Ряд это скорее road. Это скорее, range, order.
Вритти, такое слово мне не известно, есть вратья, бродяга, изгой, вратина, бродяжничающий. Вритти это не инфинитив вообще.
Да и рита, ряд, такого тоже нет. Во всяком случае, в словаре Кочергиной.

В общем языкознании этим занимается историческая и сравнительная лингвистика. В каждом конкретном языке - история языка и этимология. Этимология изучает происхождение слов. Все индоевропейские языки развивались на основе санскрита и имеют много общего. Лексика каждого языка развивается по своим законам, но есть ещё и более поздние заимствования из других языков, в том числе и родственных. Просто так - на слух или из-за похожего написания - сравнивать слова чревато ошибкой, в языкознании имеется даже такой термин, как народная или ошибочная этимология.

Не знаю, в какой степени научно, но знаю, что Александр Драгункин, автор ориг. методики изучения англ. яз.

это сравнительная лингвистика и языкознание

может филология