Загадка слов. Вопрос людям с лингвистическим образованием или с оным же чутьём.

Такой авторитет в области этимологии Русского языка как Макс Фасмер про "нельзя" пишет так:

"нельзя́ укр. не́льга, нiльга́, нельзя́; не́льга "холодная, сырая погода со снегопадом", блр. нельга́, нiльга́ "нельзя", др. -русск. нельзѣ (Изб. Святосл. 1073 г. ) наряду с нельга "не дозволено", Илья Новгор. (см. Срезн. II, 64), нельзя, Румянц. псалт. (ХVI в.) , Ипатьевск. летоп. , нельза, Лютеранский катехизис 1562 г. (см. Соболевский, Лекции 87), льзѣ "можно", Смол. грам. 1229 г. , часто (Напьерский, 444 и сл.) , ст. -слав. не льзѣ οὑκ ἐνόν (Супр.) , льзѣ (Клоц.) , др. -серб. ɪе льза, слвц. nielza, др. -польск. nielza. Первонач. *lьgа, откуда дат. ед. lь (d)zě аналогично трѣбѣ при отрицаниях; см. Мейе, Ét. 254; Соболевский, Лекции 249; РФВ 6, 215. Дат. -льзѣ вытесняется формой льзя аналогично случаям; не ме́сто, не досу́г, не вре́мя. Исходное *lьga связано с лёгкий. Ср. по́льза наряду с по́льга, о котором см. Мейе, Ét. 165.

А вот про "пользу":

по́льза диал. по́льга – то же, арханг. (Подв.) , укр. пíльга "облегчение, успокоение", ср. польск. ulgа – то же; др. -русск. польза (начиная с Остром. ; см. Срезн. II, 1149), русск. -цслав. пользевати "быть полезным" и пользовати, ст. -слав. польѕа, польза, полаб. рü᾽ölgа "польза". Из ро- и *lьgа; ср. лёгкий (Мейе, Ét. 165 и сл. ; 254; Зубатый, Sb. filol. 1, 147; Бернекер 1, 753; Траутман, ВSW 158 и сл. ) Ввиду отвердевшего характера -з- Дурново (ZfslPh 1, 487) предполагает цслав. влияние (ср. нельзя́).

Судите сами, насколько они однокоренные.

Да, корень в них один, "-л (е) г-", который и в "лёгкий" и в "льготе".
Просто, там чередование звуков [г/з] .

у Ершова в Коньке -гобунке втречается:
" ...мы такого не слыхали, чтобы льзя похорошеть... "

Было. И сейчас есть: ЛЕЗ, ЛЕГ, ЛЕЖ. З=Г=Ж
Если сказать так - НЕЛЕЗЯ и ПОЛЕЗА - разве так уж смысл меняется.
ЛЕЗ - поЛЕЗный
ЛЕЖ - приЛЕЖный

Было слово ЛЬЗЯ. От него множество производных