Почему "of opinions", а не просто "opinions" в предложении "the purpose of his visit was to exchange of opinions"?

Потому что опечатка. Не нужен там предлог, ведь exchange здесь глагол (частица to перед ним) , а глагол этот - транзитивный.
the purpose of his visit was to exchange opinions -Целью его визита было обменяться мнениями.

Если же оставить предлог OF, тогда следует поменять глагол на существительное:
the purpose of his visit was AN exchange of opinions - Целью его визита был обмен мнениями.

То есть проблема в том, что exchange по форме может быть и существительным, и глаголом.
Видимо, человек, писавший предложение, когда начинал писать, хотел выразиться посредством глагола, а потом почему-то решил, что это существительное. Не знаю. В общем, неважно, какие у него были при этом мысли, но только предлог там не нужен.

потому что обмен мнениями exchange of opinions (кем? чем? ) творительный падеж))))

Действительно, почему? Опечатка, может быть? Глагол exchange употребляется, насколько мне приходилось сталкиваться, без предлога of. Могу предположить, что произошла путаница, глагол exchange спутали с существительным exchange, после которого необходим предлог of.
Бывают глаголы, которые требуют после себя предлога of, например, approve of. Но глагол exchange к ним не относится.
Еще бывают конструкции, в которых перед существительным exchange стоит предлог to (но не частица to, как у глагола) , иногда люди путают эти случаи. Ну вот такой пример: Projects contributing to exchange of good practices.