Правильно ли поставлена запятая после слова "однако"?

Запятая не нужна. "Однако" - это не вводное слово в данном случае, а в значении противительного союза. Надо посмотреть предыдущее предложение, и всё станет ясно.
Например: "Так же легко, беззаботно и возвратился он в гостиницу. Однако что-то уже изменилось (Бунин).

Здесь однако - союз, не нужна запятая.
Уберём придаточное:
<Однако ...тем больше убеждался в своей правоте. > - некрасиво получается
.Однако (но) чем больше я наблюдал за ними, тем больше убеждался в своей правоте. > - всё нормально.

В современной трактовке правил запятая необязательна, если этому слову не сопутствуют частицы или оно отделено от сопутствующих ему членов предложения деепричастным оборотом и проч. .
Прим.
Я никогда не лишено углов; отсюда, однако же, следует лишь то, что эти углы следует укреплять.. .

Однако это время, нужное для реальности, настолько сокращается, что в конце концов все рассыпается в песок мгновений.

Несмотря на все свое тщеславие и самолюбие, люди обыкновенно имеют весьма смутное представление или даже вовсе никакого о том, что значит быть духовными, быть тем абсолютом, каким может быть человек; однако, оставаясь тщеславными и самолюбивыми, они все же являются такими.. .
(Сёрен Кьеркегор

БОЛЕЗНЬ К СМЕРТИ)

В данном случае слово "однако" употреблено в значении союза "но", запятая не нужна.

Стилистика языка.
Писатель захотел и поставил.
А правила побоку.
Иначе мы будем изъясняться формулами и догмами.
Фраза становится более эмоциональной.
Горький ставил запятые где надо, и не надо.
И не страдал от этого.

Похоже, здесь союз (= но) , а не вводное слово. А отсутствие запятой перед придаточным объясняется правилом стыка сочинительного и подчинительного союзов. Но это не абсолютное утверждение, т. к. не известно содержание предыдущего предложения - дает ли оно основание для противительного союза. И метод изъятия, который упомянут в ответе Галины Аванесовой, "работает" на запятую. И все бы хорошо было по Розенталю, если бы "чем..., тем.... " было бы союзным словом, но это союз. Парность союза не дает возможности для полноценного изъятия, тем более, что в главном отсутствует подлежащее.

Думаю, запятая не нужна.

В данном случае запятая поставлена правильно, а почему - я не помню...

Помню в школе нам говорили, что есть еще такая вещь, как авторская пунктуация, т. е. если автор хочет что-то особо выделить, то он может поставить запятую или тире там, где этого можно было и не делать. Наверно, это и есть тот случай. Оба варианта смотрятся вполне грамотно. Лично я поставила бы запятую, потому что при произнесении этой фразы паузу после слова "однако" невольно делаешь.

Он (вёрд) видит это так:

"Однако чем больше я наблюдал за ними, тем больше убеждался в своей правоте"
И это верно.

..."однако" = "но".
Поэтому и идёт сигнализирование ошибки.
Попробуйте поставить противительный союз "НО" вместо союза, относящегося к той же группе противительных союзов - речь идёт об "Однако" -и получите в идеале :
"Но чем больше я... "

Я соглашусь с комментарием Вартова. Здесь не факультативная запятая, а случай, подчиняющийся определённому правилу. Можно сказать, что это вариативный случай - либо правило №1, либо - №2. Ворд подчёркивает Вам это место, чтобы обратить Ваше внимание на эти два правила пунктуации в подобных случаях:

1. "Однако" в начале предложения выделяется запятой только тогда, когда его нельзя заменить на союз "но". Из этого вытекает:

2. "Однако" в начале предложения может отделяться запятой, если выполняет функцию междометия. " В Вашем предложении слово "однако" можно заменить союзом "но", поэтому запятая не нужна.

И следует учесть, что слово "однако" является ВВОДНЫМ, если стоит внутри или в конце предложения - в данной ситуации это, конечно же, не тот случай.

даа

да это вводное слово