Почему русское слово "дом" и английское слово "dome" (купол) звучат одинаково ?

лат. domestica корень

И немецкое Dom ("дом") переводится "собор"...

Чему удивляться? Все мы родственники, близкие или дальние.

Индоевропейские языки

А пишутся по-разному. Вот ведь!

Протославянские и протогерманские племена пришли в одной толпе индо-арийских племён. Когда-то у них были общие предки и общий язык. Одинаковые слова в разных языках составляют т. н. базис. Есть множество других одинаковых слов в русском и английском.
Mother - матерь
dauter - дочка
son - сын
three - три
drop - дробь (капли свинца, застывшие в воде)
water (америкацы проиносят - "водэ", ударение на "о") - вода

Потому что английский язык сформировался лишь к 16-17 векам. Основные корни, естественно, заимствовал из единого языка, прямым наследником которого можно считать русский.

Если не читали, то рекомендую - А. Драгункин "5 сенсаций". Если вообще языками интересуетесь - впечатления гарантирую.

Вообще-то современные исследования показывают, что русский язык является самым древним, и из него произошли (или были искусственно созданы) другие языки, (напр. латынь) . В английском языке очень много русских заимствований, причем не наоборот, что доказывается тем, что русские слова имеют исконные значения. Т. е. русские слова являются как бы аббревиатурами из буквиц-образов, из суммы которых и складываается значения слова. В английском и др. языках слова смысла не имеют (т. е. невозможно объяснить, почему что-то называется именно данным словом, а не как-либо иначе) , они просто используются бездумно, на манер попугайской речи.

ой, очередные любители Чудинова. Большая часть европейских языков утеряна в виду христианизации (особенно смешно это смотрится в виду того, что у них уже были заимствования из греческого - совсем немного, и латинского - куда больше). Dome и "дом" - это результаты влияния поздней латыни, когда её уже зашкварило христианство. Кстати, тем кто так радуется тому факту, что "английский появился только в 17-м веке" - современный русский появился в 19-м веке. И то нынешние школьники в нём ни уха ни рыла. По поводу праиндоевропейского - есть уже мнения, что он не был единственным и столь глобальным.