Как правильно: "У меня есть синий и белый ШАР" или "У меня есть синий и белый ШАРЫ"? И есть ли правило на этот случай.

В данном примере – существительное должно стоять во множественном
(а если не в данном - могут быть нюансы, например, если эти определения не прилагательные, а числительные) .

Вот из Справочника Розенталя:

§194. Два определения при одном существительном

Имя существительное ставится в форме МНОЖЕСТВЕННОГО числа, если подчеркивается наличие нескольких предметов, например:

московский и горьковский автозаводы; биологический и химический методы;

академическое и массовое издания произведений классиков,

широкоэкранный и обычный варианты фильма; марганцевая и хромовая руды;

соляная и серная кислоты; кузнечно-прессовый и сборочный цехи;

золотая и серебряная медали; гидроэнергетическая и оросительная системы;

токарный и фрезерный станки, ходовая и боевая рубки крейсера;

овечья и телячья шкуры, разрыв между первым и последним гонщиками,

встречи с болгарской и польской футбольными командами;

участники гражданской и Великой Отечественной войн.

1) смотря где употреблять
2) формально в письменной (официальной, книжной) речи - множественное
3) современное разговорное словоупотребление (Петербург, Москва, другие крупные города) - единственное число
4) язык постоянно меняется и включает в себя множественные нормы (стилистические, географические, социальные) - это нормально

Я думаю, всё же - шары, поскольку это слово является здесь обобщающим, и если поставить его в середину предложения, будет выглядеть:
У меня есть шары: синий и белый. Ну а в нашем случае получается - У меня есть синий и белый шары.

синий и белый шары

Вы склонение проходили? Просклоняйте " есть синий и белый Шар". Именинтельный- есть синий и белый шар.
Винительный- есть синий и белый шара.