Как правильно спросить

Правильный вариант - What are you doing on Sunday? Вопрос о запланированном действии, значит время должно быть Present Continuous.
Вот правило: Настоящее продолженное время (Present Continuous) обозначает действие, происходящее в настоящий момент; действие, представляющее собой непрерывный процесс; будущее действие, если оно запланировано.

Я часто общаюсь с американцами и точно могу сказать, что любой американец скажет подобную фразу именно в Present Continuous. Возможно британцы используют другую форму.

Оба варианта правильные. 1-й живее в том смысле, что
речь явно идет о близком событии, т. е. что воскресенье через
день-два. Второй вариант относится к воскресенью, даже
если разговор происходит еще только в понедельник.

Сравни русские: "Что ты делаешь в воскресенье? " с "Чем ты будешь занят в воскресенье? " Какое более подходит к рассматриваемой ситуации, то и выбирай.

Первая фраза полная нелепица, если сейчас Sunday: зачем нужно такое уточнение, это считается ошибкой, хотя грамматически фраза построена правильно.

Если же сейчас не Sunday, то фраза просто ошибочна: продленное время не может относиться ни к чему другому, кроме себя. Потому оно и продленное. Как оно выглядит в будущем/прошедшем, говорить не буду: скажу лишь, что категорически нельзя использовать из настоящего времени 'now' — там будут свои русские "сейчас", они будут соответствовать тому (будущему/прошедшему) времени. Уточни для себя, как будет выглядеть и 'today' в тех же временах, чтобы у англичан брови не оказались от удивления на затылке.

Вторая фраза правильная. Укажи время, и тоже можно в продленном: what will you be doing by 5 [o'clock]?

Я бы спросил: What will you do on Sunday?
То есть второй вариант мне кажется более подходящим.
Ну а что касается использования Present вместо Future, то такое бывает. Но тогда уж спрашивайте так: What do you do on Sunday?

Разница есть, но увидеть её можно только через ответы.

I'm going to Moscow. (поеду вмоскву - это мои точны планы, и я их выполню)
I'll go to Moscow (поеду в Москву, но может и не поеду. - окончательного решения ещё нет)

Это тот редкий случай, когда есть точный аналог в русском языке:

Where are you going tomorrow? — Куда вы завтра идёте?
Where will you go next week? — Куда вы пойдёте на следующей неделе?

Настоящее время переводится настоящим, будущее — будущим. Первый вариант используется, если событие состоится скоро (как и в русском) , в противном случае используется второй вариант.
Надо заметить, что вариант Where do you go tomorrow? неправильный.