Полезно ли переписывать тексты для улучшения владения английским языком?

Да.
И все? Нет, не все…
Я, помнится (мне тогда было 18), Взял "Прощай, оружие" и сел его переписывать от руки красивым почерком. По ходу переписывания каждое незнакомое слово я находил у Мюллера (или Гальперина) и записывал красной ручкой по-английски, синей - по-русски, а между ними - зеленой - транскрипцию. Словарик составлялся к каждой главе и листки со словарем я вкладывал в свою "рукопись" в конце каждой главы.
Весь роман я не переписал, врать не буду, что-то помешало закончить. Помогло? Разумеется. Чтобы стать нормальным переводчиком (не говорю «хорошим» , это более высокая степень совершенства) надо выработать в себе особое свойство – способность «вживания» в текст. Для этого единственное средство пропустить через себя много текста. Читать, это не то. Это - то же самое, что слушать музыку и играть ее.
С выбором текста нужна некоторая осторожность. Я недавно увидел парня, который, видимо под влиянием чьих-то рекомендаций, «пропускал через себя» какого-то из «Гарри Поттеров» . Если Диккенс, Твен, Хэм, Киплинг кажутся совсем старыми, возьми хотя бы Грэма Грина.
Помимо переписывания могу настоятельно порекомендовать учение наизусть классической поэзии (интонационный ориентир – в аудиокнигах с английскими актерами-чтецами) .

Если только память - пока смотрите на текст, запоминаете кусок, потом навык письма отрабатываете.
Но если вы не поклонник каллиграфии, как Стивен Фрай, то ничего особенно это не дает.
А он любил иногда купить прописи, чернила и вспомнить детство.

Письмо - это продуктивный вид речевой деятельности, как говорение. Пишите что-нибудь свое, письма, дневник, рассказ, тогда будет польза.

Просто ПЕРЕПИСЫВАТЬ? Не вижу никакого смысла.
Другое дело - переводить фразы или текст с русского на английский. Это исключительно полезно, представляет собой значительную нагрузку на мозг, а значит, развивает его, заставляет неоднократно вспоминать грамматические правила и закреплять эти знания на практике.
Причем, опять же, совсем не обязательно это делать письменно. Конечно, если вы путаетесь в написании английских букв и слов, то вам нужно потренироваться в письме. Но у меня такой проблемы не было. Поэтому упражнения на перевод я, как правило, делаю устно. Зачем тратить время на писанину? Ведь за то же время, которое ушло бы на письменный перевод фразы, я успею перевести ее устно, свериться с ключом и потом еще повторить перевод вслух 5-6 раз для закрепления и для развития беглой речи.

Писал и пишу очень много. Даже слепой метод письма на машинке в своё время освоил. Не сказал бы, что это чем-то сильно помогло. Такой уж психотип достался: моторная память просто никакая. Мне очень много дало обычное чтение. Лет десять на русском языке просто ничего не читал. Но буквально перед глазами есть и другой пример: пока человек слово не напишет, он его ни за что не запомнит. Каждому своё...

Да.