немецкий. грамматика. как правильно

um...zu - когда в обеих частях предложения один и тот же деятель, damit - когда разные.
Ich muss mit der Arbeit Schluss machen, um in deN Urlaub zu fahren. - Я должен закончить работу, чтобы поехать в отпуск.
Я закончу, и я же поеду.
ich muss mit der Arbeit Schluss machen, damit ich in den Urlaub fahren zu können - во второй части бредовая грамматика.
ich muss mit der Arbeit Schluss machen, damit ich in deN Urlaub fahren kann - грамматика приемлемая, но так не говорится, потому что деятель один и тот же.
А вот если бы деятели были разные, например: Ich muss mit der Arbeit Schluss machen, damit DU in den Urlaub fahren KANNST. - вот тогда надо damit.
Так что правильный первый вариант, только артикль надо исправить.

В конструкции um ...zu переводитсяна русский инфинитивным оборотом "чтобы сделать то-то". Тут нет сказуемого и подлежащего.
Конструкция с damit является придаточным предложением, тут есть и подлежащее и сказуемое (чтобы тот-то сделал то-то) .

Это хорошо видно в Ваших примерах.

Вот еще пара примеров:
Ich lerne jeden Tag, damit ich meine Deutschprüfung bestehe. (ich и bestehe - подлежащее и сказуемое в придаточном)

Ich lerne jeden Tag, um meine Deutschprüfung zu bestehen. (просто инфинитивный оборот)