Почему слово "хрен", люди часто преобразовывают в нецензурное слово из трёх букв, начинающееся с той же буквы?

есть такое понятие - эфвемизм, когда запретное слово заменяется схожим по звучанию и применяется в типичных предложениях.

например, "это тебе не хрен собачий!" - тут уж точно не про овощ, собачий же!

" есть выражение - ни хрена себе" - овощ тут точно не при чем, а само предложение изначально - распространенная матерная поговорка.

вы еще слово хер проанализируйте. Это тоже не мат, это название буквы Х старого алфавита. От него есть вполне нематерные слова, например - похерить, то есть перечеркнуть крестом. А до революции была и вышивка херами, и игра в херики-оники (угадай, как она сейчас называется).

по уровню нецензурности от большего к меньшему:
хуй -- хер -- хрен
кто видел корень выше упомянутого овоща а также употреблял его как приправу -- образная схожесть очевидна
а ещё есть такая вещь как "хреновина"

Это называется слэнг, когда прямое значение слово радикально отличается от обиходного (кстати американцы очень любят слэнг). В данном контексте корень Хрен. Ну так повелось кто его знает откуда. Большая часть слов, что мы считаем нецензурными, на самом деле есть ни что иное как заимствованные иностранные слова с искаженным понятием.

Какая собственно разница, сути слово не изменит.

Это-«культурное ругательство», типа «ёшкин кот», «японский городовой» и т.д. взамен матерных слов.
Эвфемизмы используются в речевых или печатных текстах для замены слов, признанных грубыми или «непристойными», например, бранно-ругательных и матерных слов.
Подробнее- на сайте, указанном ниже.

Разве не заметна такая ассоциация : Христос, Храм, Хер, Хрен, Х-й и т.д. Одна Вам подсказка : с древнерусского поХЕРить - перечеркнуть крест на крест.