There is\ there are

Первое предложение: у Вас в городе одна национальная библиотека?

Если да, то "library", в единственном числе. Предлог "in" не нужно с заглавной буквы в середине предложения писать:)

Если же этих библиотек несколько, то, как Вы написали: "libraries". Опять же, "библиотека(-и)" у Вас с заглавной, национальная - с прописной. Либо оба слова с прописной (маленькой), либо уж - оба с заглавной, но последнее -в случае, если эта библиотека является некой значимой единицей, ну...типа Кремля или Дворцовой площади, и тогда - с артиклем "the", а если просто "некая национальная библиотека", то, оба слова - с маленькой и "a", как у Вас.

Далее. В первом предложении, Ваш город - town, в следующем - city. С этим определитесь (либо везде - town, либо везде - city)

Четвертое предложение. "There are a lot..."
Сами посудите: Артикль "a"(неопределенный, который употребляется только в единств. числе) и "there are" - множ. число.
В этом случае, само слово "множество" выступает как единое неделимое понятие. И хоть оно означает множество, но само - в единственном числе:)
"There is a lot..."

Остальное, вроде, верно.

There is a national library in our city. Хотя если ее официальное название Государственная Библиотека, неопределенный артикль смотрится странно.
It is a very popular place будет лучше.

Что касается there are a lot, здесь все правильно, сейчас так учат. Это смысловое согласование: are, потому что a lot of подразумевает множественное число. Раньше нормальным считалось грамматическое согласование по единственному числу.