Почему в предложении "Мне есть, что сказать" ставится запятая?

Не ставится.
Здесь не ставится
Почему?
ЕСТЬ ГДЕ /.../ ЧТО, неразложимое сочетание (с инфинитивом) Неразложимые сочетания, состоящие из глагола «есть» , местоименного слова («где» , «как» , «куда» и т. д. ) и инфинитива, не разделяются запятой. есть что / где / куда / когда. .
(цельное по смыслу выражение, сказуемое + союз
Цельное по смыслу выражение. Между частями выражения знаки препинания не требуются) .

Таперича, слава богу, благодать, по дорогам деревень и дворов много, есть где от погоды уйти, а допрежь и не приведи создатель, что было! А. Чехов, На большой дороге. Значит, надо поднимать подполье, коли есть куда его поднимать, делать из него лунку с деревянным настилом. В. Распутин, Прощание с Матерой. Хоть вспомнили бы детство, понимаешь. Ведь есть что вспомнить! В. Шукшин, Два письма.

Для справки.
Но надо отличать от тех случаев, когда инфинитив и союзное слово относятся к разным частям. Сказуемое + союз. Если часть предложения с подчинительным союзом «что, где, куда» можно опустить или переместить, то запятая перед союзом ставится по правилам пунктуационного оформления сложноподчиненных предложений. <noindex>http://punktuaciya.academic.ru/226/есть_что___где___куда___когда</noindex>...

Это сложноподчиненное предложение. Оно состоит из двух частей; первая - "мне есть", вторая- "что сказать". Они соединяются подчинительной связью, т. е. вопросом "Что". Первая часть предложения утверждает, вторая поясняет это утверждение. Ну или можно просто сказать, что перед союзом "что" всегда ставится запятая.

как уже сказали выше, запятая не ставится в данном случа. для наглядности сравните просто предложение "у меня есть книга", где "книга" прототипичное подлежащее, отвечающее на вопрос что? "что сказать" это тот же самый член предложения, что и "книга", только выражен он не через привычное существительное, а через инфинитив.