Артикль "the" в английском всегда обязателен?

нет, не всегда, иногда можно ставить "a", и иногда даже "an". и вот когда определишь когда ставить THE - ставишь, не определишь - ставишь А или AN
а вобще, на данный момент в разговорном английском можно особо не париться - носители языка сами не знаю где как и что ставится

Артикль "the" в английском не всегда обязателен.

В Вашем примере он нужен по нескольким причинам.

Механически легко запомнить так:

если идёт предлог 'of' после значимого слова (в данном случае, 'father'), то определённый артикль 'the' здесь нужен.

Он нужен в предложениях типа:

Mr.Smith is the father of my children.

Это "определённый, конкретный", "единственный в своём роде", "уникальный" отец "определённых, конкретных" ("моих") детей.

Здесь есть так называемое "ограничивающее определение" (http://engblog.ru/attribute), оно и требует артикля 'the' с дополнением с предлогом 'of'.

Однако, есть случаи, когда слово 'father' может и дошлжно употребляться без артикля, например, прри прямом обращении, при заполнении анкет и других документов и пр. .

Подробнее - см. : "СЛУЧАИ УПОТРЕБЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО АРТИКЛЯ THE".

Read more: http://study-english.info/article.php#ixzz36t2yCZQ6

Нет, иногда "а" следует употребить

Прочтите в хорошей грамматике все об артиклях с примерами . Там не так много, но кое-что сверх школьных знаний все же найдется.
Бывают случаи, когда артикль может не употребляться. Например, в значении "в качестве".
Mr. Brown, author and lecturer, now resides in Cornwall...
Mrs.Brown, mother and wife...

В ваших примерах возможны оба варианта, только без тире. В первом как именное сказуемое с глаголом связкой (He is the father of my children), во втором как приложение через запятую, в более официальном контексте.

употребление артиклей обязательно либо определенного либо неопределенного

Потому и определённый!
Если в приводимом примере поставить "A FATHER", то получается ОДИН (из многочисленных) Ведь A(N) = one, как в немецком EIN(E)

А ещё лучше - притяжательный падЁж

Mr.Smith is the father of my children - потому что указано чей отец, есть уточнение, конкретизация. НО:
Mr.Smith is a father или даже лучше Mr.Smith is father.

Всё написанное выше, конечно, правильно. Но, на мой взгляд, вы не на то обращаете внимание. На вашем уровне знания английского языка не нужно заморачиваться артиклями, пока принимайте на веру то, что вам говорит ваш преподаватель (или самоучитель) , понимание придёт потом само.
Гораздо хуже, что вы не понимаете того, что нельзя к английскому языку примерять русские конструкции. В английском языке никаким образом не приемлемо заменять глагол-связку "to be" русским тире. И для понимания вас англичанами гораздо важнее, чтобы вы сказали "Mr.Smith is the father of my children", чем артикль, который вы при этом употребите.

Этот артикль всегда обязателен в единственном случае - при переходе прилагательных в существительные. Тут без вариантов. В вашем случае тоже надо артикль.