the classes of mr.smith or mr.smith's classes Объясните в чем заключается ошибка в первой фразе?

Александр немного фантазирует.
Тут ошибка не связана с категорией одушевленности. Дело в значении. Если имеется в виду "уроки, которые ведет Мистер Смит", то сказали бы classes by Mr Smith или Mr Smith's classes.

Если использовать предлог of, то получится "уроки по Мистеру Смиту", как будто Мистер Смит -- это предмет. Но можно сказать the lessons of Mr Smith, и это будет переводиться как "урок, который преподнес Мистер Смит". В данном случае речь не о том, что Мистер Смит учитель, а о выводах, которые нужно извлечь из некой ситуации, виновником которой стал Мистер Смит.

Интересно, что выражение lessons of history "уроки истории" имеет два значения, как и в русском языке: "занятия по истории" и "выводы, которые можно сделать из исторического опыта".

Фантазируя, как Даниил, скажу: и первый вариант нормальный, просто второй более распространён. Кстати, сэр Томсон как-то не смог читать очередные лекции. Пришёл в институт несколько ранее, и на доске у двери аудитории написал мелом: "Prof.Thomson will not attend today his classes". Там на коридоре было несколько студентов. Профессор уже изрядно удалился, но слышал за собой смех. Вернулся. Шутники, оказалось, вытерли букву "с" в слове "сlasses" (lasses - девушки) . Получалось, что профессор не сможет навещать сегодня своих девок. Тряпка ещё была в руке у одного из студентов. Учёный молча забрал её у него, вытер букву "l" в том же слове и ушёл восвояси ("Профессор Томсон не сможет сегодня навестить своих ослов").

А как перекинуть мостик к "занятиям, которые посещает мистер Смит"?
Типа "а после работы мистер Смит занимается аэробикой"

все дело в принадлежности. Первое используется только с неживыми, а второе-с живыми