Why study Latin at all? что это за тип конструирования вопросительного предложения в английском

Очень сложный вопрос! Есть несколько версий.

1. Якобы это эллиптическая конструкция, которая в полном виде выглядит так:

Why should we study Latin at all? (если вопрос подразумевает, что должны мы)
Why would one study Latin at all? (вообще)

2. Это аналог вопросов типа "Why Paris?", "Why now?". Или помните слова из известной песни Suzanna:

"And I think to myself,
Why now,
Why me,
Why ..."

elyrics.net/read/a/art-company-lyrics/suzanna-lyrics.html

В вопросах такого типа нет глагола-связки be, а за вопросительным словом why следует предмет вопроса. Это может быть существительное (Paris), местоимение (me), наречие (now). Но почему тогда нельзя использовать и глагол? Вопрос в том, в какой форме он должен стоять. Здесь можно впомнить про понятие логического сказуемого. То есть, это глагольная форма, которая не является синтаксическим сказуемым, но по смыслу обозначает действие, которое выполняет логическое подлежащее (оно тоже не является синтаксическим, а только по смыслу) . Например, в конструкциях с Complex Object есть логическое подлежащее и логическое сказуемое:

I saw her come in (где come in -- форма инфинитива без частицы to). Я увидел, как она вошла.

her - логическое подлежащее, come in -- логическое сказуемое.
Можно сказать, что предложение "She came in" превратилось в сочетание логического подлежащего и логического сказуемого в предложении "I saw her come in".
Это пример того, как ведет себя глагольная форма, когда она не является синтаксическим сказуемым и соотносится с логическим подлежащим. Похожая ситуация и в вопросах типа Why study Latin? Подлежащего, с которым соотносится действие study, нет. И это не потому, что подлежащее опущено. Логическое подлежащее определеяется по смыслу (см. пункт 1). Поэтому используется форма инфинитива, так же, как и в конструкции с complex object.

Помимо подобных вопросов с why есть похожие по структуре вопросы, начинающиеся с what about и how about.

What about Paris?
What about you?
Но в этом случае глагол используется в форме герундия (а не инфинитива) , так как about -- это предлог:
What about studying Latin?

Не одноосновное, а односоставное.
Поскольку подлежащее и сказуемое - понятия соотносительные, одно подразумевает другое (как муж и жена) , то применять эти понятия для односоставного предложения не всегда представляется возможным.

C why бывают такие вопросы, когда глагол вспомогательный можно опустить. Правда, при этом и подлежащего нет. Если же есть подлежащее, то тогда и вспомогательный глагол появляется.
You use why with `not' in questions in order to introduce a suggestion.
Why not give Claire a call?...Why don't you come home with me until you sort things out?...Why don't we talk it through? - В данных примерах это "предложения" некого действия.

Близко к этому значению "предложения" и следующее:
You use why with `not' in questions in order to express your annoyance or anger. Why don't you look where you're going?...Why don't they just leave it alone? Why talk about that? — что об этом говорить?

Как видите, опять две возможные структуры - 1)с подлежащим и вспомогательным перед ним и 2) только с глаголом.

Why study Latin at all? - Зачем вообще учить латынь?

study - да, сказуемое, а подлежащего нет. В русском языке таких конструкций тоже полно. Но вот как они в точности называются, то есть термин для таких предложений, я подсказать не могу.