Почему правильно "Where IS your cat?" а не "Where DOES your cat?" ?

Дословно - "Где есть твой кот? ", но никак не "Где делает действие твой кот? "
Правильно либо
Where IS your cat?
либо, например,
Where DOES your cat sleep?

Надеюсь, ты знаешь назначение вспомогательного глагола do/does. Он добавляется к смысловому глаголу, когда надо построить вопросительное или отрицательное предложение. Пример:
(утверждение) Он ходит в школу = He goes to school
(вопрос) Куда он ходит? = Where does he go ?

Казалось бы, в твоем случае, поскольку тут похожий вопрос, надо по такой же схеме добавлять do:
(утверждение) Мой кот находится на диване = My cat is on the sofa.
(вопрос) Где находится твой кот? = Where does your cat be?

Это было бы правильно... но глагол to be - особый глагол. Его особенность в том, что он не нуждается во вспомогательном глаголе, он обходится без него, он сам его заменяет и встает на его место.
Только надо не забыть, что глагол to be в третьем лице превращается в is. И мы имеем:
Where is your cat?

does это не глагол, а вспомогательный глагол и ставится когда нет вопросительного слова (где, когда, почему и т. д.). Если есть вопросительное слово, то does не нужен.

My cat takes a dump in a litter box. And yours? Where does your cat?