Насколько близки чешский и словацкий языки?

Rock Smit +1
по большому счету, да, чешский и словацкий - это один и тот же язык. не то чтобы один являлся диалектом другого - скажем так, это два диалекта одного языка. собственно, и в одной Чехии говорят не одинаково (в Праге говорят не так, как в Будейовице, и т. д.), ну вот и в Словакии тоже свой "говор" - некоторые звуки по-другому произносятся, некоторые слова другие употребляются. но различия если не минимальны, то не настолько существенны, чтобы считать cz и sk разными языками.
в последнее время вообще очень модно придумывать несуществующие языки - молдавский, боснийский, черногорский... это дань европейской лингвистической толерастии, к науке и к живой речи не имеющая отношения ровным счетом никакого.

рядом не валялись

Бывала и в Чехословакии, и в Чехии, и в Словакии, разительного различия не заметила. Но утверждать это не берусь, потому что я не специалист по славянским языкам..

Русский и украинский не настолько схожи, чтобы обеспечить более-менее полное понимание. Отличия между ними не ограничиваются лексикой, но затрагивают и синтаксис - например, в украинском есть полноценный звательный падеж и синтетическая форма несовершенного вида глаголов будущего времени (в русском - только аналитическая).

Что же касается разницы между языком и диалектом - как говорят лингвисты, она заключается в том, что носители двух близкородственных языков сами думают о своих языках. Если они считают их разными - значит, это язык, нет - диалект.
К примеру, голландский отличается от немецкого меньше, чем некоторые диалекты немецкого, но немецкий и голландский - разные языки. Минимальны различия между датским и норвежским, русским и белорусским - но это языки, а не диалекты. А в Китае есть несколько диалектов китайского, носители которых вообще друг друга могут не понимать - но все они считаются именно диалектами, а не языками.
Но ни проживание людей на одной территории, ни родство языков само по себе оснований для отличий языка от диалекта не даёт.

Один язык.