would you like any coffeе? или would you like some coffeе? как правильно?

Дело в том, что would you like some coffeе? это не совсем вопрос, а предложение угоститься. в такой конструкции всегда используется some. а в обычных вопросах, конечно, any

Вопрос : Would you like any coffeе?
Согласна с Mary Rua - Лучше обойтись без всего. Просто Would you like a coffee?

Some/any – неопределенные местоимения, которые обозначают неизвестное (предположительно небольшое) количество каких-то предметов или некоторое количество вещества, материи, жидкости и т. п. Они обычно ставятся вместо артикля и определяют существительное, стоящее после них. В зависимости от типа фразы (утвердительная, отрицательная, вопросительная) и самой формулировки, перевод some, так же как и перевод any, может отличаться. Далее описаны правила употребления some/any и приведены примеры того, как используются и переводятся эти местоимения:

Some употребляется в утвердительных предложениях с исчисляемыми существительными во множественном числе и обозначает «несколько» или «некоторые» :

I know some famous Russian writers. Я знаю несколько знаменитых российских писателей.
Some guys know about me. Некоторые парни знают обо мне.

Some используется в утвердительных предложениях с неисчисляемыми существительными и обозначает «немного» или «некоторое количество» :

We bought some coffee in the shop. Мы купили немного кофе в магазине.
I’m ready to take some money from my safe. Я готов взять (немного) денег из своего сейфа.

Any употребляется в вопросительных предложениях вместе с исчисляемыми существительными в значении «какие-либо» , «какие-нибудь» и вместе с неисчисляемыми существительными в значении «сколько-нибудь» :

Have you got any interesting English magazines to read? У вас есть какие-нибудь интересные английские журналы (почитать) ?
Have you got any milk here? Здесь есть молоко? (сколько-нибудь молока)

Да там вообще было бы лучше обойтись без всего. Просто Would you like coffee?

Отличие есть.
Would you like ANY %s - подразумевает нейтральный вопрос, отрицательный ответ на который не будет чем-то неожиданным.
Would you like SOME %s - подразумевает, что либо у того, кому задают вопрос, каким-то образом "на лице написано", что ему это %s нужно, либо тот, кто спрашивает, действительно хочет, чтобы адресат сообщения тем или иным образом использовал %s.

когда идёт предложение чего-то то употребляется some.Меня так в институте учат.

Вроде как и так, и так возможно. Здесь объяснение есть http://www.grammar-quizzes.com/agr_someany.html

Some (а не any) употребляется в специальных вопросах, а также в общих вопросах, в которых что-нибудь предлагается или выражается какая-нибудь просьба.
Why didn't you buy some cheese?
Won't you have some tea?
Can I have some cold water?

SOME - выражает неопределенное количество и не может быть опущено, без него речь будет идти не об одном веществе, а как о веществе, противопоставляемом другому веществу.

Артикль а (an) произошел от числительного one …………. A coffee - одно кофе (чашка кофе)

Местоимение some может употребляться в вопросительных предложениях, если вопрос не относится непосредственно к нему или к определяемому им существительному и в вопросе что-нибудь предлагается (Would you like some coffee?) или выражается какая-нибудь просьба (May l have some time to think it over?),особенно если подразумевается ответ "да".

would you like some coffeе?

когда что-то предлагаешь, надо some

Any - хоть сколько-нибудь.
Some - немного.
(в данном случае).

Any обычно используется в отрицательных предложениях, но можно и так.