Would you mind looking at your hands?Would -прошедшее от will или что, откуда образовано, в каких случаях употребляется?

В данном случае это МОДАЛЬНЫЙ глагол.
Как модальный он имеет следующие значения:

Модальный глагол Would употребляется:

В вежливых просьбах:
Would you open the window, please?
Не могли бы Вы открыть окно?

В вежливом предложении чего-либо:
Would you like tea or coffee?
Вы хотите чай или кофе?

Для обозначения действия в прошлом. Это обязательно повторяющееся привычное действие в прошлом. Поэтому в этом случае модальный глагол would приближается по значению к известной нам конструкции used to.
He would always say hello. – Он бывало (когда-то) здоровался. (аналог used to):
It was a nice summer, Corey and I would sit all evening long playing chess.
Это было славное лето, бывало, мы с Кори проводили весь вечер, играя в шахматы.

В догадках/предположениях:
- I just saw a small boy here, who would he be?
- Я только что видел здесь маленького мальчика, кто бы это мог быть?

- Oh, that would be Amy’s nephew.
- А, это, наверно, племянник Эми.

Упорное нежелание совершить какое-то действие в прошлом (это работает в отрицательных предложениях).
She asked him twice to give up drinking, but he wouldn’t listen to her. – Она дважды просила его бросить пить, но он не хотел ее слушать.

Would в вашем предложении означает вежливую просьбу.

Это еще и вспомогательный глагол в сослагательном наклонении.
Еще употребляется для выражения вежливого предложения (Would you like a cup of tea?) или, как в данном случае, упрека:
Глянь на свои руки.

Would you mind looking at your hands? - (Позвольте взглянуть на ваши руки - НЕВЕРНО). ИСПРАВЛЕНО: Вы бы взглянули на свои руки!

Да, технически would - именно прошедшее время глагола will, и не иначе. А вот используется оно дря разных нужд. Вот тут кратко основные функции перечислены:

aux. (3rd would) past of WILL(1), used esp.:
1) (in the 2nd and 3rd persons, and often in the 1st: see SHOULD). a in reported speech (he said he would be home by evening). b to express the conditional mood (they would have been killed if they had gone).
2) to express habitual action (would wait for her every evening).
3) to express a question or polite request (would they like it?; would you come in, please?).
4) to express probability (I guess she would be over fifty by now).
5) (foll. by that + clause) literary to express a wish (would that you were here). 6) to express consent (they would not help).

В жданном случае, это веждивая просьба, вопрос, замечание.
Will you go with me to the cinema? - Пойдёте со мной в кино?
Would you go with me to the cinema? - Вы бы пошли со мной в кино?

Вежливое обращение: Не соизволите ли вы, не будете ли вы возражать.