Чем I should like отличается от I would like ? I should like to start as soon as possible - почему не would ?

Правила употребления английских модальных глаголов shall и will преподают в школе. Однако, со временем обнаруживаешь, что чаще приходится видеть и слышать форму I will вместо I shall.
Есть тонкий момент, который влияет на выбор слова. Причем в разных случаях выбор оказывается противоположным.
Оба слова могут обозначать будущее время. В таком случае в британском английском в первом лице употребляют shall, во втором и третьем — will.
Если же shall или will выражает намерение или приказ, все наоборот: will в первом лице, shall во втором и третьем.
Шотландцы и американцы обходятся одним will.

В вашем случае "But I should like to start" - просто будущее (классический английский, в том числе старый литературный) , а "We shall go" - намерение

ps: хорошее высказывание по этому поводу из интернета
"if you were very traditionally minded, you would always use "shall" and "should" for the first person in plain future and conditional; never "I would like". There would then be no sense of obligation in "I should". However, by far most native speakers use "will" and "would" for all persons now; but in classical literature, or in present-day conservative circles, the old usage can still be found."

Книжка была написана очень давно. Просто эта форма устарела, и так действительно давно не говорят, а говорят would во всех лицах.

The Marvelous Land of Oz - написана была ещё тогда, когда модальный глагол shall (should) использовался с существительными и местоимениями 1го лица единственного и множественного числа, то есть с I и We
в современном английском он фактически исчез, используется will \ would
ваш отрывок - оригинальное произведение, поэтому там именно такая форма, а не другая: )

вышесказанное относится к классическому британскому английскому. в американском английском вы не услышите сочетания I should like.
i should будет скорее иметь значение "я должен", "мне следовало бы"
I would like - мне бы хотелось