Как правильно сказать? I haven't a cat or I don't have a cat? Или нет разницы?

Правильно I don't have a cat.
Также правильно I haven't got a cat.

I haven't a cat - устаревшая форма, не надо на нее ориентироваться.

I haven't got a cat. I don't have a cat

I don't have a cat. I have no cat. I haven't got a cat

Насколько я понимаю ситуацию, "have", в данном случае - глагол смысловой, и, следовательно, требует дополнения глаголом "do" в отрицании и в вопросе.
Если же используется форма "have got" (Present Perfect, по сути) - то смысловой глагол уже "get", а "have" уже будет спокойно стыковаться с отрицанием и формировать вопрос.

I haven't a cat - это стяженная форма I have a cat not, а последняя восходит еще к XIII-XIV веку, когда в английском языке уже появилась частица not, но еще не было вспомогательного глагола do и другого способа сформировать отрицательную конструкцию не было. С появлением и развитием вспомогательного глагола do (XV - XVIII вв) "полная" форма отрицания понемногу сошла на нет, а стяженная I haven't какое-то время оставалась в языке. Сейчас она фактически осталась только в британском варианте английского, но уже и там считается устаревшей - по сути, сейчас и англичанин, и американец, заслышав I haven't, подсознательно будут ожидать услышать перфектную конструкцию, а не отрицание. Поэтому изучающим английский язык совет один - забыть про использование I haven't в качестве отрицания, использовать только I don't have или I haven't got.

I don't have a cat.
Ответ англоязычного на подобный вопрос:
""I don't have a book" and "I haven't a book" are both "correct" (as are "Do you have a book?" and "Have you a book?", but in American English people almost always use "do" and "don't", and almost never say it the second way."
(Формально оба варианта правильные, но англоязычные выберут don't have.)

в каком времени надо ?

прошедшие время и настоящие

i have not a cat

Конечно, второй вариант более употребительный и правильный. В школе и учебниках учат именно такому варианту.