Что за конструкция такая He's got a son? Почему не He has a son?

Have/has got = have/has.
He's got = he has got = he has.
И так, и так правильно.

Дело в слухе, а не в грамотности - эстетика поперёд!
Если не слышать преимущества [hiz-'gоt] перед [hi-'haz] - то никакие выписки из БСЭ или "Британ (и) ики" не помогут... Небольшой тест (в пределах школьной программы по русскому) - с чего вдруг у самого Пушкина по всем хрестоматиям понапихан неудобоваримый стих: "Гнули, БОГ ИХ прости (от пятидесяти - на сто!)" Что за [БОХИХ] - скопыткач на ровном месте?! Единственной объяснение - никакой там не "Бог", святоши! - а как раз "мать"... да и не "прости", а ровно наоборот - но строка-то поёт! Вот они, кровавые следы тамошней цензуры...
Лично мне - вся широкая научная общественность уже полвека! - пытается втюхать разницу между нотами "РЕ" и "СОЛЬ"... Аж в пяти полновесных фолиантах!

это конструкция have got. Тоже, что и have, но в значении обладания какой-то вещью. У меня есть две куртки, у меня есть сын, у меня есть машина... и т. п. Но не У меня есть мнение или что-то в этом роде.

P.S.Пурга это.
Совершенно необязательно употреблять в этих случаях have got, можно поставить просто have и все будет ОК. На этот счет есть даже разъяснение где-то в книжках OUP по подготовке с САЕ.

When do we use have got and when have

In British English have got is used quite often, in other areas it is common to use the main verb have.

Это сокращение
He has - he's
It is - it's
she can not - she can't
И так далее