Как склоняется фамилия Бобёр- Бобра или Бобёра?

Мужские фамилии восточнославянского происхождения, имеющие беглую гласную при склонении, могут склоняться двояким образом – с потерей и без потери гласного: Михаила Заяца и Михаила Зайца, с Александром Журавелем и Александром Журавлём, Владимира Бобра и Владимира Бобера. В ряде источников предпочтительным признается склонение без выпадения гласного (т. е. Заяца, Журавелем), т. к. фамилии выполняют в том числе юридическую функцию. Но окончательный выбор – за носителем фамилии. При этом важно придерживаться выбранного типа склонения во всех документах.

Бобёр
Бобра
Бобру
Бобра
Бобром
Бобре

Это как автор хочет. Тьфу, не автор, а владелец фамилии.

Обычно фамилия идет в паре с именем
и как ты просклоняешь например
Бобёр Лена
родить Бобёр Лену
дать Бобёр Лене

Склонение ряда фамилий (как в единственном, так и во множественном числе) оказывается затруднительным из-за неясности, должна ли в них сохраняться беглость гласных по образцу омонимичных им или похожих по внешнему виду нарицательных существительных (Кравеца или Кравца — от Кравец, Журавеля или Журавля — от Журавель, Мазурока или Мазурка — от Мазурок и т. п.).
Разрешение таких затруднений не может быть обеспечено правилами, для этого необходим словарь фамилий, дающий нормативные рекомендации для каждого слова
http://new.gramota.ru/spravka/letters/71-rubric-482

Я б поискал возможности употреблять с такой фамилией только именительный падеж или другой язык.

Не склоняется, так же как Шевченко, Буйных.

Бобёр
Бобра
Бобру
Бобра
Бобром
Бобре