Как пишется "Многие, в погоне за экономией своих личных денег, используют газовые плиты." Где запятые надо ставить?

Запятые не нужны в данном случае. "В погоне за экономией" не требует выделения на письме, хотя и выделяется интонационно. Это легко понять, переместив его в начало или в конец предложения. В таком положении смысловое ударение падает на него естественным образом, и желание выделить исчезает. Не все паузы в речи соответствуют запятым!

А что вы тут выделяете этими запятыми? Не нужны они.
Разве что хотите отразить на письме интонационное выделение.

Запятые здесь возможны, хотя и не обязательны. Вот "в погоне за экономией" – оборот сомнительный. Можно быть в погоне за прибылью, а за экономией – вряд ли.

Своих и личных - одно и тоже. Что-нибудь выкинуть нужно. Ну и использовать плиту в погоне - это же... а как это вообще?

"Многие с целью экономии используют газовые плиты". Не нужны запятые.

Сравните:

"Многие, стараясь сэкономить свои личные деньги, используют газовые плиты."
"Многие в погоне за экономией своих личных денег используют газовые плиты."

В первом случае запятыми отделяется деепричастный оборот, на то есть правило. Во втором случае, наверное тоже есть правило (об отсутствии запятых), но я не хочу тратить время на его поиски в справочнике. Просто руководствуюсь своим большим читательским опытом, который исправно помогает уже много лет.

Пунктуация правильная. Ошибок нет.

"Многие в погоне за экономией своих личных денег, используют газовые плиты."