Когда использовать at, а когда on? Не считая at the school и on the table.

at
1) в пространственном значении в; на; у; за
at the station — на вокзале
at the office — в конторе
at the door — у двери
at my uncle — у моего дяди
at the table — за столом
at work/a conference — на работе/конференции

2) во временном значении в; на
at 5 o'clock — в пять часов
at midnight — в полночь
at dawn — на рассвете
at night — ночью

3) указывает направленность действия на; в
to look/to stare at — /смотреть/уставиться на кого-л. /что-л.
to laugh/to growl at — /смеяться над кем-л. /чем-л., рычать на кого-л. /что-л.
to rush at — бросаться на кого-л.
to shoot at — /стрелять в кого-л. /во что-л.
to be impatient at — /быть раздражённым кем-л. /чем-л.
to be delighted at — быть в восторге от чего-л.

4) указывает на действие, занятие
to be good at — хорошо делать что-л.

5) указывает цену, уровень и т. п.
at 30 miles per hour — со скоростью тридцать миль в час
at full speed — на полной скорости
to sell at £50 — продавать что-л. за 50 фунтов

6) в словосочетаниях
at last — наконец
at first — сначала
at first sight — с первого взгляда
at least — по крайней мере
at best — в лучшем случае
at all — совсем/вообще
not at all — нисколько

==============================================
ON
1) указывает на нахождение на поверхности или помещение на поверхность
on the desk/the wall/the screen — на столе/стене/экране
mud on smb's shoes — грязь у кого-л. на ботинках
to sit on the grass — сидеть на траве
to put a notice on a board — вешать объявление на доску
to hit on the head — ударить кого-л. по голове
on page 23 — на странице 23
what's on your mind? — что вас беспокоит?

2) указывает на соединение или соприкосновение с чем -л.
a dog on a lead — собака на поводке
a ball on a string — мячик на верёвке
the wheels on a car — колёса машины
a knock on the door — стук в дверь
to be on the telephone — говорить по телефону или иметь телефон
to lean on a wall — прислоняться к стене

3) указывает на местонахождение или направление
on the Continent — на материке (не на Британских островах)
on the border — на границе
on smb's right — справа от кого-л.
on both sides of a road — по обеим сторонам дороги

4) указывает на время, дату
on a journey — во время путешествия
on one's way somewhere — по дороге куда-л.
on Monday — в понедельник
on time — вовремя
on seeing me — увидев меня
to play on delivery — платить при доставке товара

5) указывает на предмет, тему : по, об
an agreement/debate on — соглашение/дебаты по какому-л. вопросу
a book on India — книга об Индии
a lecture on English literature — лекция об английской литературе

6) указывает на способ передвижения
on foot/horseback — пешком/верхом
on a ship — на корабле, морем
on the 9 o'clock train — девятичасовым поездом

7) указывает на средства существования
to be on a grant — получать стипендию
to live on one's parents — жить за счёт родителей
people on low income — люди с низким доходом
to live on potatoes — питаться одной картошкой

8) указывает на состояние, процесс, характер действия
on holiday — в отпуске
on fire — горящий
on sale — в продаже
to be on a diet — быть на диете
to be on strike — бастовать
to be on the increase — увеличиваться

9) указывает на сферу деятельности
to be on the staff/a committee/a board — работать в штате/комиссии/совете
a job on a newspaper — работа в газете
to go somewhere on business — поехать куда-л. по делам

10) в словосочетаниях
on average — в среднем
on no account — ни в коем случае
on behalf of — от имени кого-л.
on principle — из принципа
a tax on — налог на что-л.
smb's expenditure on — чьи-л. расходы на что-л.
to have on — ; иметь компрометирующий материал на кого-л.

Тут многое приходится просто запоминать.
Выписывайте и заучивайте примеры, которые вам встретились.

Полноценного списка нет. On - сверху, at - у, около. Нужна практика языка, иначе полноценно не сможешь отличать.

Есть вполне полноценные правила. Например, тут: talkenglish.com/grammar/prepositions-on-at-in.aspx

Хотя, конечно, непростые.

Смотрите advanced-english-grammar.com сбоку в разделе Prepositions есть списки со значениями и примерами употребления.
Имейте в виду, что с многими словами можно использовать другие предлоги и они будут менять смысл, так что не лишним будет заглядывать в словарь (лонгмановский в этом смысле неплох ldoceonline.com/dictionary/attention)

На мой взгляд, практичнее брать тему и в ней уже разбирать, где и какие предлоги используются.