Общепринятое русскоязычное написание: Ганс Христиан Андерсен. Правильно: Ханс Христиан Андерсен. Почему?

дат. Hans Christian Andersen

Ханс Кри́стиан А́ндерсен (в русском языке также распространено написание Ганс Христиан, дат. Hans Christian Andersen, датский: [hans kʁæsdjan ˈɑnɐsn̩]

Потому что точно такого звука в русском нет.

что общепринято - то и правильно. Нет никаких святых правил транскрипции, особенно, если транскрипцию приняли много лет назад

Нашего Герцена за границей тоже Херценым кличут

У вас ответ содержится в вопросе: общепринято. Так принято. Договорились для унификации написания. Транскрипция, не транскрипция, и чё, теперь каждый может - не может. Правила есть.
Никого не удивляет, что короли и герцоги любой страны носят похожие имена: Карл, Людовик, Генрих или Вильгельм, хотя на деле это Луи, Шарль, Чарльз, Хайнрих, Анри или вообще Гийом. В исторической литературе есть традиция переводить имена в германском варианте. Традиция - это такая вещь, которой обычно следуют.
Зато каждый, кто вдруг открыл для себя транскрипцию, желает сообщить миру, что все, оказывается, говорят неправильно и пора нам открыть глаза. А посыл простой: все кругом идиоты, один я умный.

Какое-то противоречие у вас в вопросе. Сначала утверждаете, что Ханс Христиан правильно, а затем спрашиваете почему. А откуда вы взяли, что это правильно?
По существу вопроса согласна с Mikhail Levin. Не существует никаких абсолютных правил при написании иностранных имён.

Похоже никто точно не знает - ни разу не встречал разумной версии.
Могу предположить, что это результат увлечения французским языком в период транскрибирования германских имён и названий. Во французском языке буква H немая, и, чтобы обозначить этот звук, стали применять G, которая превратилась в русскую Г...

Это ты еще не знаешь, как на самом деле Генриха Гейне зовут.