причем здесь слово way

Запомни меня такой.
Запомни меня таким.
Запомни меня вот так (вот этим).
'This way' означает: таким образом, таким способом, в таком духе, вот так, так...
("таким путём" - это дословный перевод: выражение может также означать - "вот сюда", при описании, куда идти, и часто сопровождается жестом, взмахом руки).

Слово 'way' имеет очень много значений....
среди прочих, также: манера, образ (действия), способ..
Иногда переводят даже в виде мема "как-то так"...
В разговорной речи часто употребляется "для связки слов": ну, вот так... как-то так...

при
чем?
при
том:
запомни меня таким образом, таким путем

В английском языке значение слова зависит от предлога.

this way - так
no way - ни за что
in some way - как-нибудь
same way as - так же, как

И т. д.

Ну и "запомни меня таким путем" по-русски хоть и звучит коряво, но все же имеет схожее значение. "Банки открывают открывалками, таким же путем открывают и бутылки".

На этом пути, таким. Бедный англ яз..

Не совсем так....
(Вообще-то так назывался диск Гарри Глиттера)

remember me this way - Запоминай МЕНЯ так ( но сам трудись запоминать - важность вовлечения ТЕБЯ В ПРОЦЕСС запоминания)

remember TO me this way запомни меня таким ( а то ведь склею ласты и будут слагать обо мне байки, а я - такой!!!)