Как правильней: "we'll go the other way" или "we'll go with enother way"? Или оба примерно равносильны?

the other way - это когда пути всего два. Если не тем путем, то этим. Второй путь определен.
an other way - это когда путей больше чем два. Если не тем путем, то еще каким-либо путем. . Второй путь Не определен.

we'll take another way

Вас видимо в школе учили языку.
Это заметно

Зачем тут WITH? AN + OTHER = 'another' = другой, другим, одним из прочих. - то есть этим не пойдём.
Можно "We'll take the other way" - с большей определённостью..

Первый вариант вполне допустим, в книгах есть полно примеров такого выражения.
Some Saturday we'll go the other way, out to the country and seek the dark.
When we get out of the valley, we'll see which way the war party went, and we'll go the other way.
They pointed behind us and I said, “Perfect we'll go the other way then
Хотя чаще говорят: we'll take another way

go the other way - идти не этим, а совершенно другим путём

go another way - попробовать кроме этого, ещё один способ или путь

But when you think you’re stuck Just go another way - Но если ты понимаешь, что застрял, Иди по другому пути.
Too tired to go the other way - Но я слишком устал, чтобы идти в другую сторону.