Связаны ли русские слова стол и стойло?

Думаю, что нет.

У слова стол древнерусское происхождение. Рус. стол (образовано с помощью перегласовки и темы -ъ от стьлати - "стать") относится к этому же ряду. Первоначальное значение - 'подстилка', затем - 'стул' и, наконец, 'стол'.)
С древнейших времен стол осмысляется космически: "стол - божество, стол - небо-земля, позднее - место пребывание божества; стол имеет свой культ и ему воздают божеские почести. .

Этимологические данные свидетельствуют, что оно изначально связано со словом стлать и первоначально обозначало собственно некое место, на котором «расстилалась» еда (ср. диал. столечник — «скатерть» ) .

Слово стол в древнерусском языке означало "престол", "княжение", "столица".

Сто́йло. Восходит к общеславянскому stojadlo от глагола стоять. Буквально — «место для стояния скота».

1. Отгороженное место в конюшне, хлеву для одной лошади или одной коровы.

2. Ж. -д. Секция депо, предназначенная для ремонта одного локомотива.

3. Обл. Место, где пасущийся скот скапливается для отдыха во время зноя. На этот низкий лужок, к самой воде, дед Шумаев в полдень пригоняет стадо. Тут, попросту говоря, стойло. Крутилин, За косогором.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой.

Видимо, всё-таки нет: как Вам уже написали, слово "стол" возможно неожиданным образом связано со словом "стелить".
А вот слово "столб", оказывается, напрямую связано с глаголом "ставить": город Столбцы́ Минской области по-белорусски называется Стаўбцы... (в Википедии его название дано неверно - Стоўбцы - поскольку ударение в этом топониме на последний слог, а безударного "о" в белорусском языке нет).

стойло - это где стоят... стол - столоваться - место где ешь, кормишся - живешь...

Вполне возможно.

Стол - стьлати (от глагола стелить). Есть гипотеза что - "То, что застилают". Но есть гипотеза что - "То чем застилают".
Стойло - stojadlo (от глагола стоять). Место где стоят (животные).
Как видишь изначально это совершенно не похожие друг на друга слова. Ни по значению, ни по звучанию.

Нет. Абсолютно разные слова. Это, как стол и столица. Стойло-место, где сельскохозяйственных животных содержат. Стол-предмет мебели.

Похоже, что да. И Столица тоже.

судя по этимологическому словарю Фасмера, возможно, связаны, но не факт. "стойло" происходит от слова "стоять", а вот со "столом" все неоднозначно: по мнению одних ученых, "стол" тоже этимологически связан со "стоять", но есть и другие версии происхождения этого слова, от совсем других источников

Конечно, как все другие слова со ст, например штаты, столица, стан, станица, устой, сити, стойбище, стоянка, станция, стол, стул, стать, стояк и тд.