Как выразить на английском, с сохранением смысла, слова "зажрался" или "обнаглел" ?

Я бы не приравнивал эти два глагола. Зажраться значит много себе позволять, что в итоге приводит к физически и моральным вредным излишествам, пресыщению и избалованности. Вот статья из журнала PsychologyToday: "Are Kids Today More Overindulged?" Конечно, переводить на русский overindulged не обязательно словом "зажрались", но смысл именно в избалованности. Кстати, этот грубоватый оттенок отлично передает прилагательное choosy. Согласно словарю Someone who is choosy is difficult to please because they will only accept something if it is exactly what they want or if it is of very high quality. [INFORMAL]. Иными словами, когда человек чересчур привередлив и разборчив в чем-либо, то это прилагательное вполне точно отражает суть русского "зажраться". Например, She's become very/too choosy about food. Кстати, авторитетный Большой русско-английский словарь профессора Д. И. Ермоловича приводит это соответствие в пометой [презрительное], хотя в зависимости от контекста возможные и другие аналоги.
'Обнаглеть' можно передавать сочетанием get/become brazen (например, вот одна из статей на тему безопасности в Интернете: Scammers getting more brazen), get cheeky, become insolent. Однако в конкретной ситуации фразу "Да ты обнаглел!" или "Не наглей!" можно передавать по-разному с учетом накала эмоций и обстановки. Например, мама, недовольная поведением сына или дочери за столом в гостях, говорит: Mind your (freaking) manners! или Being cheeky, are you? Также возможен вариант (опять же зависит от отношений между людьми): How can you be so (fucking) rude?/How rude can you get? (Ты совсем охамел?). В определенном контексте, когда кто-то повышает голос, ругается бранью и ведет себя вызывающе, ему могут сделать замечание: Why are you mouthing off like that? (Ну чего ты наглеешь?). MOUTH OFF - talk in an unpleasantly loud and boastful or opinionated way; loudly criticize or abuse [Oxford Dictionary]. Также удачным представляется использование глагола to be с инговым окончанием: Why are you being so brazen? (Да ты обнаглел что ли?).

insolent fat-cat

I think they're getting greedy.

мазафака ёпт!