Помогите пожалуйста, есть ли что-нибудь грамматически неправильное в тексте?

Зачем вы его переписываете ?)
Ну вот текст вам переписали выше, там проблем с написанием нету )
Но у вас остаются колоссальные смысловые проблемы .

В оригинале она говорит "За чаем матушка сказала, что ночью был большой мороз, в сенях замерзла вода в кадке и когда пойдут гулять, то Никите нужно надеть башлык"

То есть шапку надо надевать, когда пойдешь гулять . У вас же получается, что шапку надо надевать для занятий в комнате .

Так же вот тут проблема, которая и в прошлых вопросах присутствовала.
"Я и учитель вернулись в комнату, в которой на стене висела карта. Никита сел за стол."
Я и учитель вернулись - это предложение от лица мальчика
Никита сел за стол. - это предложение от лица автора .

Так нельзя - надо выбрать что-то одно и согласовать остальные предложения
например "Мальчик и учитель вернулись в комнату"

- Мама, честное слово, страшная жара, - сказал Никита.

Мама сказала, что ночью был сильный мороз и Никите нужно надеть шапку.
-Мама, честное слово, страшная жара - сказал Никита.
-Прошу тебя, надень шапку.
-Мама я простужусь в шапке.
Я и учитель вернулись в комнату, в которой на стене висела карта. Никита сел за стол. Аркадий Иванович начал занятие.

Ну по тексту получается, что в комнате было три человека, это так? )) А может и четыре...

"-Мама, честное слово, страшная жара.
Сказал Никита." (Это у вас)

"– Ты смотри же, не говори маме, – сказала Катя Соне, отправляясь с ней спать." (Это у Чехова, в рассказе "Мальчики". Читали?)

С чего ты взяла, что ты поймешь наши ответы?!..

Мама, я простужусь в шапке