Как правильно: дорожка или половик?

Вы имеете в виду покрытия для пола?
ПОЛОВИК служит для вытирания обуви от уличной пыли и грязи при входе в чистое помещение. Он может быть в виде дорожки, прямоугольный, круглый. В деревнях раньше в домах стелили в комнатах.
А вот ДОРОЖКА еще может быть ковровой. И это уже не половик. Ее стелют в разных помещениях. Красную ковровую дорожку можно увидеть в местах, где проводятся торжественные мероприятия...

красный половик премии МузТВ

Половик маленький и перед дверью.
Дорожка длиннее.

полорожка или доровик.
Синонимы.

Второе имеет значительный бытовой оттенок, ну и дорожка не может быть круглой, как половик.
Показали бы свой коврик-половик, что ли...

Мостовая вспоминается.

У меня дома была широкая шерстяная дорожка, отличного вишневого цвета с желто-черными полосками по сторонам. Теплая и дружелюбная, она приятно щекотала босую подошву. Сверху дорожки бабуля стелила плотный серо-голубой половик, из ткани типа такого грубого льна, а может, другого материала. Он был гладкий, немного даже скользкий, и на нём также были полосы розоватого оттенка. Шириной половик был четко с середину дорожки.
Его функция была предотвратить вытаптывание ворсинок шерсти дорожки, сохранение её цвета. Обычно половик служил ещё и защитой ковровой дорожки от мокрых ботиночек и галош, которые частенько нарушали священный порог Большой комнаты .
Половик можно легко аккуратно собрать и встряхнуть, избавившись от пыли и крошек. Половик можно было стирать.

Все правильно.

Это разные предметы