Почему пара ботинок, но пару раз? Какое правило это регулирует? Не могу найти конкретное правило.

- Это черная смородина!
- А почему она красная?
- Потому что зеленая!

Не ищи логики)

парА раз не считается, парА ботинок у меня есть
был тут пару раз, видел пару ботинок

Да ладно! Пару ботинок на вынос!

пара ботинок - подлежащее, пару раз - обстоятельство.
Правило: винительный падеж как обстоятельство действия.
Не спал всю ночь.

В вашем примере вы рассматриваете два РАЗНЫХ слова с одиноковым написанием. (Вроде как "охотник" за волками, и "охотник" до выпивки).
Есть вещи, которые полноценны только в ПАРЕ, им так и ведётся счёт. Пара ботинок, пара гнедых и пара кроликов. Это не то, что ДВА ботинка или ДВА кролика. Потому что в паре ботинки должны быть на левую\правую ногу, чтоб их носить, а кролики в паре должны быть разнополыми, чтоб размножаться.
А в словосочетании "пару раз" - слово "пару" является СИНОНИМОМ ЧИСЛИТЕЛЬНОГО. С таким же успехом можно сказать "пять-шесть раз". Парность-непарность события здесь на смысл не влияет.

потому что "пара ботинок" ты используешь в именительном падеже, а "пару раз" в винительном. Можно и "пару ботинок" купить.

Никаких проблем. «Эту пару ботинок я надевал на прошлой неделе». Склоняется.
Вот лучше задумайтесь - почему «пара кальсонов», но «две пары кальсонов»?
Ууууу…

Тебе название нужно?.. Называется "Правило Кляйзенштейна".

Вопрос действия задай, станет ясно.

Потому как существительное пара склоняется по падежам.

Это закон джунглей