В древнерусском языке слова с буквой "О" писались через "О", поп, кот, война, почему в украинском через i?

Икавизм. Зарегистрируйтесь на lingvoforum.net и в разделе "Украинский язык" спросите, откуда икавизм в украинском. Там можно будет подробно поговорить. Ну или можно спросить без регистрации, если хотите.

Звук "ы", а также промежуточный между "ы" и "и" являются, пожалуй, самыми лёгкими в произношении звуками. Поэтому если человека хватит инсульт или он выпьет бутылку водки, число этих гласных в его произношении резко увеличивается. За счёт замещения других, более сложных гласных.

Вероятно, когда обезьяна превращалась в человека и имела слабую дикцию, гласные "ы" и "ы-и" были её излюбленными гласными. Развитие дикции не остановилось с формированием Человека Разумного приблизительно в Палестине 50 тысяч лет назад. Дикция продолжала расти под влиянием стимулирущего действия умеренных морозов (Московский регион) на мозг и развития технологий, а значит и свободного времени для прокачивания навыков речи.

Там, где зимы были слишком тёплыми или слишком холодными (южная и юго-западная Россия, Средняя Азия, северо-восточная Азия), положительная эволюция дикции шла замедленно или вовсе остановилась.

Вы откуда знаете про древне русский?

Как говорится в одном известном фильме, нет, это было до большевиков, в 14 веке.
В польском есть подобное явление, называется сужением гласных - О в определённых условиях переходило в У. На письме такое У обозначается буквой Ó: róg = рог, wóz = воз.
В украинском этот суженный гласный потерял лабиализацию и превратился в И: рiг = рог, вiз = воз.

Вы хорошо владеете польским и украинским, что знаете происхождение слов?

Это только в именительном падеже ед. ч.

Гаватович. Кіт у мішку. 1619. https://www.youtube.com/watch?v=U8dcG6hsSOo

Через i и в Российской империи писали до революции