В чём разница между «При помощи» и «С помощью»?

Эти предложные сочетания, образовавшиеся в XIX в., до настоящего времени не разграничиваются четко по значению, а некоторые различия в их общем функционировании только намечаются в современном русском языке. КОЛИЧЕСТВЕННО в употреблении преобладает предлог "с помощью" (см. ниже диаграмму частотности в литературе на основе данных корпуса русского языка в сервисе Ngram Viewer).

Конструкция с предлогом "с помощью" предпочитается при необходимости обозначить ОРУДИЕ, служащее для осуществления действия, то, посредством чего, с использованием чего выполняется действие. В этом значении конструкция с предлогом "с помощью" может быть заменена конструкцией с ТВОРИТЕЛЬНЫМ БЕСПРЕДЛОЖНЫМ, обозначающие орудие.
Сравните: отпереть дверь с помощью ключа - отпереть дверь ключом; взрывать породу с помощью тола - взрывать породу толом и т. п.

В отличие от описанных конструкции с предлогом "при помощи" употребляются чаще для обозначения КОСВЕННОГО средства, способствующего, помогающего осуществлению действия. Такая конструкция НЕ МОЖЕТ быть заменена формой ТВОРИТЕЛЬНОГО ПАДЕЖА. См.: ползти при помощи рук (нельзя сказать: ползти руками - разве что "ползти на руках"), посадить цветы при помощи товарища (нельзя сказать: посадить цветы товарищем, разве что в какой-нибудь абсурдной комедии или гротескной ситуации), отремонтировать машину при помощи механика (аналогично) и т. д.
Однако указанные различия выражены недостаточно четко, и в ряде случаев оба предлога ВАРИАТИВНЫ, например: выделить слово в речи при помощи логического ударения - выделить слово в речи с помощью логического ударения - выделить слово в речи логическим ударением; подтянуть лодку с помощью багра - подтянуть лодку при помощи багра - подтянуть лодку багром; отпереть дверь при помощи отмычки - отпереть дверь с помощью отмычки - отпереть дверь отмычкой.

При помощи - взял пассатижи на раз, помог себе ими и выкинул.
С помощью - все время с пассатижами работать.

При помощи -- это про инструмент ("вскрыть запертую дверь при помощи лома"). С помощью -- обычно про помощника ("с его помощью мы закончим работу гораздо быстрее"), иногда про обстоятельства ("судно удалось снять с мели только с помощью прилива").

Зависит от конкретных случаев. Иногда разница есть, а иногда - нет

«При помощи» - с помощью чего-либо подвернувшегося.
«С помощью» - с помощью чего-либо своего.

При помощи (неодушевленный предмет).
С помощью (одушевленное существо, чаще всего человек, но необязательно).
Ятакщетаю!

Хочешь с русским языком поспорить?

С помощью - сделать что то с помощью, то есть припераясь оь помощь

А вот при помощи - без понятия