Может ли в английском языке герундий играть роль глагола-сказуемого?

Как он может выполнять функцию сказуемого, если это неличный глагол, а сказуемым могут быть только личные глаголы. С чего вообще возник такой вопрос?

Самостоятельным сказуемым быть не может, а составной частью сказуемого может, да.
My hobby is collecting stamps.
They kept on arguing.
Авторитетный источник - любое пособие по грамматике, раздел "герундий".

Герундий
Неличная форма глагола, выражающая название действия, обладающая свойствами глагола и существительного и отвечающая на вопросы «что делание, что сделанность».
Как существительное:
I. В предложении может быть:
1. Подлежащим: Reading is my hobby. Чтение - моё любимое занятие.
2. Именной частью составного сказуемого: My favourite hobby is reading. Моё любимое занятие - чтение.
3. Прямым дополнением: I remember reading it. Я помню, что читал это.
4. Предложным косвенным дополнением: I am fond of reading. Я поклонник чтения.
5. Определением: I had a pleasure of reading a good book. Я имел удовольствие прочитать хорошую книгу.
6. Обстоятельством: After reading the book he went to school. Почитав книгу, он пошёл в школу.
II. Может сочетаться с предлогами: I am thinking of going to the cinema. Я подумываю о том, чтобы сходить в кино.
III. Может определяться местоимением: We spoke of our going to the cinema. Мы разговаривали о нашем посещении кинотеатра.
IV. Может определяться существительным в притяжательном падеже: He objected to the customer’s paying only half of the price. Он возражал, чтобы клиент заплатил только половину цены.
Как глагол
1. Может иметь прямое дополнение: I remember reading this book. Я помню, что читал эту книгу.
2. Может являться частью составного глагольного сказуемого: I started reading this book. Я начал читать эту книгу.
3. Может определяться наречием: She likes reading aloud. Она любит читать вслух.
4. Имеет формы аспекта и залога:

Если под герундием подразумевать инговую форму, не вдаваясь в различия между герундием и причастием, то может быть сказуемым придаточного предложения со своим подлежащим.
Fleur having declared that it was simply impossible to stay indoors, they all went out. (Galsworthy)
У нас такие конструкции называются абсолютными причастными оборотами.

Да, герундий в английском языке может играть роль глагола-сказуемого. Например, в предложении "Running is my favorite activity" (Бег - моя любимая занятие), слово "running" является герундием и выступает в роли глагола-сказуемого. В таких случаях герундий употребляется в качестве существительного, обозначающего действие или процесс, и стоит в предложении на месте подлежащего.