Действительно ли англичане читают “the” как «дэ» Или так слышится просто?

Иногда под влиянием предыдущего звука [θ] может быть похожим на [d] или [t]: in this, and the, of the, around the и т.д.
На самом деле звуки, которые мы произносим, имеют разные вариации, в зависимости от того, где они стоят, и от индивидуальных особенностей человека. Тут также: [θ], немного похожий на [d], остаётся той же самой фонемой, но другой вариации. Мягкие и твёрдые звуки в русском также к этому относятся: это варианты одной фонемы. Разница лишь в том, что в нём эти варианты значимы и могут изменить смысл слова: мил (приятен) - мыл (посуду). В английском это не играет роли, и они толком не замечают разницы: light (если утрировать, льайт) - bell (бэл). С другой стороны мы не замечаем долготу гласных, которая наоборот важная для английского: tin ([tin]; консервная банка) - teen ([ti:]; подросток), в русском, к примеру, "кот" и "кооот", "рука" и "рукааа" не меняют смысл от долготы гласного.

Нет, у нас нет такого звука.

Они даже иногда пишут "da" вместо "the". I'm da superman

Так слышится

Зависит: ударный или безударный, перед гласным или перед согласным.

Слышится. Но при быстром разговоре, действительно близко к звуку Д.

Так слышится просто.

Афроамериканцы – да, а англичане часто читают как "вэ" (кокни, например).

Оно читается очень сходно с "ды", но "ы" между "ы" и "и", а "д", чуть более альвеолярное. В целом можно "д" произносить, как русскую "д", так многие говорят, и всяко это уже куда правильнее, чем у большинства русскоговорящих.

Особенно "ды" слышно, если вдруг англоговорящий запинается, и чуть тянет гласную, и именно "и" он тянет, а не "э".

нет, как что то среднее между буквами т ф и с