• find the subject and the predicate; • define the grammar tense; • translate the sentences.

Nigel was one of my best friends. - Nigel - the subject; was - the predicate, Past Simple (Indefinite) - Нигель был одним из моих лучших друзей.
We've got a history, as they say. - У нас имеется история, как говорят - We - the subjet; have got - the predicate - Present Simple (Indefinite); they - the subject; say - the predicate - Present Simple (Indefinite) Active.
However, it came as something of a shock when I realised that I hadn't actually seen Nigel for nearly six months. - Тем не менее, для меня было своего рода шоком, когда я осознал (понял) , что не видел Н. почти полгода (шесть месяцев) - it - the suject; came - the predicate - Past Simple (Ind.) Active; I - the subject; realized - the predicate - Past Simple (Ind.) Active; I - the subjct; hadn't see - the predicate - Past Perfect Active.
Men's relationships with other men are regarded as having no real emotional content.
Отношения между мужчинами считаются лишёнными каких-либо эмоций.
relaionship - the subject; are regarded - the predicate - Present Simpe (Ind.) Passive

Человека, наверное, зовут всё-таки Найджел, а не "Нигель".
А в первом предложении сказуемое не просто was, а, как мне кажется, was one of my best friends. Это простое именное сказуемое с глаголом-связкой be и, разумеется, именной частью, которой в данном случае как раз и является one оf my best friends.

Leo Ramirez все правильно сказал