Раннее христианство (философия, литература, архитектура и т. д.) считается частью античности или частью средневековья?

Или да. Ибо средневековье было потом, когда христианство окрепло и даже создало свой аппарат подавления - инквизицию.

Одним из элементов раннего христианского мировоззрения по отношению к античной культуре было насторожено–негативное восприятие философских идей. Это выразилось в Священном Писании Нового Завета, и прежде всего в послании апостола Павла к колоссянам: «Смотрите, братия, чтобы кто не увлек вас философиею и пустым обольщением, по преданию человеческому, по стихиям мира, а не по Христу...» Эти слова "апостола языков" отражают в целом осторожное отношение раннего христианства к человеческой учёности, которой противопоставляется божественное слово Христа.
Безусловно, христианская философия заимствовала некоторые идеи античной философии, однако этот процесс был довольно сложным и неоднозначным. Было бы ошибочным считать, что произошло арифметическое сложение христианства, как религии, с античной философией, в результате чего и появилась философия христианская. Христианская философия зарождалась и «прорастала» в той культурно-исторической среде, которая формировалась, в том числе и не в последнюю очередь, благодаря усилиям и трудам античных языческих философов, иначе и не могло быть.
Очевидно, что в среде ранних христианских мыслителей не было однозначно сформировавшегося отношения к античной философии. Между двумя крайними мнениями от полного и безусловного отвержения античного язычества до столь же полного слияния христианских идей с философскими идеями

Безусловно, древнегреческая философия повлияла на формирование и становление христианства, хотя древнегреческие философы (и даже Марк Аврелий Антонин) были язычниками. Но от Платона - к Плотину. А от Плотина к Блаженному Августину - так формировалось христианское мировозррение. Стоит ли говорить о том, что учителем Августина в красноречии был Марк Туллий Цицерон?