Возможно ли сейчас рождение великого поэта?

Рождение великого поэта возможно всегда.
Другой вопрос в том, что для великого поэта нужны соответствующие его уровню читатели в достаточном количестве.

не заметят на общем фоне

Это будет сын Моргенштерна.

великие поэты появляются только тогда, когда они нужны той стране, в которой появились на свет. Невостребованный обществом дар просто не имеет возможности проявиться.

Пути сперматозоида неисповедимы.

Да. А что?

Бродский появился на безрыбье, не пьяница, не рэпер (рэпер вообще может быть поэтом?).

Нет. Их время ушло

Вы неверно формулируете вопрос.
"даже если такой поэт будет, кем он станет". Пока он не проявится в словесности, т.е., не создаст какое-то количество поэтических текстов высокой художественной ценности - это не поэт. Любой потенциал ничего не значит без воплощения. Кем бы они ни был по официальному трудоустройству - поэтом он станет всё равно, если предположить наличие дара, который он в себе не удержит.
"Великий" - не самое удачное определение. Что значит "великий"? Предложил бы критерий "настоящий" - "вторичный" - критерием здесь будет способность автора сказать нечто принципиально новое своим словом, сказать так, как до него никто не говорил, и при этом потрясти в высоком эстетическом смысле слова.
Такие авторы время от времени рождаются, ходят среди нас. Но прав Сергей Смолицкий: заметить и оценить их способны далеко не все читатели - носители языка, на котором он создаёт: слишком пал общекультурный уровень. Искушённых читателей мало. Остальные - крыловские петухи, подозрительно разглядывающие жемчужное зерно, не понимающие его истинной ценности.

Я думаю что возможно. Думаю, что умный, образованный, интелегентный человек может начать писать гениальные стихи

Сейчас люди слишком хорошо живут. Драматизму не хватает.