Очередная задача для вас.

Решение 1:
Фиксируем некоторое направление движения, скажем, по часовой стрелке. В дальнейшем слова "следующий" и "предыдущий" употребляем в смысле следующий и предыдущий относительно направления движения по часовой стрелке. Поставим в соответствие каждой бензоколонке число, равное разности между количеством бензина в этой бензоколонке и количеством бензина, которое требуется для проезда от этой бензоколонки до следующей (это число может быть как положительным, так и отрицательным). Тогда данную задачу можно переформулировать следующим образом: по окружности расставлено несколько (n) чисел, сумма которых неотрицательна (это условие эквивалентно тому, что бензина хватит, чтобы проехать полный круг); нужно доказать, что можно найти одно из этих чисел, такое что оно само неотрицательно, его сумма со следующим неотрицательна, его сумма со следующими двумя неотрицательна, и т. д., его сумма со следующими k числами неотрицательна (k пробегает натуральные числа от 1 до n-1). Выберем группу чисел, стоящих подряд по окружности, с максимальной суммой среди всевозможных групп чисел, стоящих по окружности подряд. Пусть эти числа - a1,a2,...ak (считая по часовой стрелке), и за ними следуют числа ak+1,ak+2,...an. Покажем, что число a1 - искомое. Рассмотрим сумму чисел a1+a2+...am, где m - некоторое натуральное число от 1 до n, и покажем, что эта сумма неотрицательна. Рассмотрим 2 случая. 1) Пусть m не превосходит k. Если предположить, что сумма a1+a2+...am отрицательна, то сумма am+1+am+2+...ak = (a1+a2+...ak)- (a1+a2+...am) будет больше, чем a1+a2+...ak, что противоречит выбору группы чисел a1,a2,...am, как группы с максимальной суммой среди всевозможных групп подряд идущих чисел. 2) Пусть m>k. Если предположить, что сумма a1+a2+...am отрицательна, то сумма am+1+am+2+...an+a1+a2+...ak = (a1+a2+...an)+(a1+a2+...ak)- (a1+a2+...am) будет больше, чем a1+a2+...ak в противоречие с выбором группы чисел a1,a2,...am.
Решение 2:
Во-первых, ограничимся движением только по часовой стрелке, то есть докажем, что есть бензоколонка, с которой можно проехать полный круг по часовой стрелке. Проведем индукцию по числу бензоколонок. Если бензоколонка одна - в ней достаточно бензина на полный круг. Пусть у нас есть N бензоколонок, N>1. Тогда можно найти 2 соседние бензоколонки, такие, что из первой можно доехать до второй по часовой стрелке. Это очевидно. Уберем вторую и отдадим весь ее бензин первой. По индуктивному предположению, среди оставшихся N-1 существует одна, из которой можно проехать полный круг по часовой стрелке. Легко показать, что с этой же бензоколонки можно будет проехать полный круг и с N исходных бензоколонок.

зависит от размера бака автомобиля, он может просто не доехать до следующей колонки

Решение 1:
Фиксируем некоторое направление движения, скажем, по часовой стрелке. В дальнейшем слова "следующий" и "предыдущий" употребляем в смысле следующий и предыдущий относительно направления движения по часовой стрелке. Поставим в соответствие каждой бензоколонке число, равное разности между количеством бензина в этой бензоколонке и количеством бензина, которое требуется для проезда от этой бензоколонки до следующей (это число может быть как положительным, так и отрицательным). Тогда данную задачу можно переформулировать следующим образом: по окружности расставлено несколько (n) чисел, сумма которых неотрицательна (это условие эквивалентно тому, что бензина хватит, чтобы проехать полный круг); нужно доказать, что можно найти одно из этих чисел, такое что оно само неотрицательно, его сумма со следующим неотрицательна, его сумма со следующими двумя неотрицательна, и т. д., его сумма со следующими k числами неотрицательна (k пробегает натуральные числа от 1 до n-1). Выберем группу чисел, стоящих подряд по окружности, с максимальной суммой среди всевозможных групп чисел, стоящих по окружности подряд. Пусть эти числа - a1,a2,...ak (считая по часовой стрелке), и за ними следуют числа ak+1,ak+2,...an. Покажем, что число a1 - искомое. Рассмотрим сумму чисел a1+a2+...am, где m - некоторое натуральное число от 1 до n, и покажем, что эта сумма неотрицательна. Рассмотрим 2 случая. 1) Пусть m не превосходит k. Если предположить, что сумма a1+a2+...am отрицательна, то сумма am+1+am+2+...ak = (a1+a2+...ak)- (a1+a2+...am) будет больше, чем a1+a2+...ak, что противоречит выбору группы чисел a1,a2,...am, как группы с максимальной суммой среди всевозможных групп подряд идущих чисел. 2) Пусть m>k. Если предположить, что сумма a1+a2+...am отрицательна, то сумма am+1+am+2+...an+a1+a2+...ak = (a1+a2+...an)+(a1+a2+...ak)- (a1+a2+...am) будет больше, чем a1+a2+...ak в противоречие с выбором группы чисел a1,a2,...am.
Решение 2:
Во-первых, ограничимся движением только по часовой стрелке, то есть докажем, что есть бензоколонка, с которой можно проехать полный круг по часовой стрелке. Проведем индукцию по числу бензоколонок. Если бензоколонка одна - в ней достаточно бензина на полный круг. Пусть у нас есть N бензоколонок, N>1. Тогда можно найти 2 соседние бензоколонки, такие, что из первой можно доехать до второй по часовой стрелке. Это очевидно. Уберем вторую и отдадим весь ее бензин первой. По индуктивному предположению, среди оставшихся N-1 существует одна, из которой можно проехать полный круг по часовой стрелке. Легко показать, что с этой же бензоколонки можно будет проехать полный круг и с N исходных бензоколонок.