математика, 8 класс

Определим возможные цифры, на которые могут оканчиваться числа 7,5,3 и 9 при возведении в энную степень:
7: 7,9,3,1…… — (7,9,3,1)
5: 5,5,5,5…… —(5)
3: 3,9,7,1…… — (3,9,7,1)
9: 9,1,9,1…… — (9,1)
7^2019 оканчивается на 3
5^2019 оканчивается на 5
3^2019 оканчивается на 7
9^2019 оканчивается на 9
Получаем:
(3-5+7) * 9 = 5*9 — кратно пяти
Остаток будет нулевым

python poschiyal shto

((7**2019-5**2019+3**2019)*9**2019) % 5 = 0

a ((7**2019-5**2019+3**2019)*9**2019) =
=738872234376936439424146524102131265064822688840807349709338712283529485518938886463709993492561700036811238398031787265042069187256030604802595197441935735558891696024166093127955123143536594002945453158272284852780260454612203433432056294217227483795828215754989563213370115172617959350913574452361727582124175510945945391464566068189390598720344338444667546512612500476980251395458888197806456294627170632833277048909208436816531388317163948627184780963100676676754543583831266152521620494259551488742109236268638822701063297727971348112721862654659866597352988796191125606920139953799689612077002271864089784629383456459211414867293606480043303487609239119342475311216957834542732124165730213807874317135037303556562946151708346454769791183440173788140839165363534070828515601969412796395430313798294559022952094092409502228425479486499959883470878281677778992137288912052187442389418325231713909194175024711576137694561467586003247948692238280674782253473034325336038492188783618015666536464160869013160001973160448635211196200051785235282389318416476327174489495793162386717241148379352734756233767151863915421251312075823155995362035984946836738508396279900261690061678880261080422423259696599854171098301693558054847894970986918343925024732083525174350813566896877127154328229597607295620945523856769023004412238727167996820099905454809756566378058037491160073512831941677794001671784221050809419454847443982263085357809453840540779239165432766074014434496692355304114831950477220252136175748089130010357793357991761005565473724199736438158348361321739834969332986162318830790496944251403807754189451048735235889128001239276547824693908401979931833502106587133672444472094808294316471589456915543409718347193889485285763390052273817508879527261472361274178630548306964151009725531758910964224563570584821704105052644296779356634695945938670270077108820762374849368248131768400933850641776550850558065782308908380260057095449183936673840422714669822518908708144818124316693947394176932559612427592024032632733966991764636093348513470035298683004452730272859728896813944659691464078467744597716995739011592729563152574119393799769724930475130508329795757228460357595110948184154204772026782493939464160574584438403306081708635868893874901225671602540492510490012267347132278207781370430780573540004126865708903935983849550289875928902695697808709694258082541754011265347246838986891487715372050687177727702312074389586138013648131803424757100561729185926584475442266027300152494205115129926905409867461129869530771465113600782290786316258423106784381269681822569317313223942274149621502210948555722022987175391411548591660780971434451181683894364833318473216348608871947812442626421077206147949713936830288869321524863218350074833151732971212931042917050853931176080439270924185416102406421872562636776754673995155587395589327114455810463553122486127418282983614267767306388094678495205108286071877671223741537170784965983600808319311393255623553011037828021351316514088491487179744076994338874520733295697476363428668974501343702348815293947547644242051391181551155052345594518159910409165259450628083277278818592906235609110043339235026476824878950301673849855638604393102195111504607040075839348070343404956056561135076582968130130834334787507023412327240807508883143342486282812332667139054453797750977731731210299955594000282398623284414190539857778700357697108167910858981206180388178013810113802446887375611305326071125445307842653031805705698159755312520532540272101272712370248979872084695280100389209415089064906897542175359473804846899117950240094617125216848759916273482303064751463460313313271991946144053769717165

Допустим нам нужно найти остаток от деления числа A^n
на число B
.
Остаток от деления A на B
мы знаем. (Пусть он будет - d .) Т. е.:
A=kB+d

Где k
- какое-то целое. (не важно - какое именно)

Задача свелась к нахождению остатка от деления такого выражения:
(kB+d)^n

Если возвести в степень сумму, то мы получим сумму степеней, в которой все слагаемые делятся на B
, кроме одного слагаемого. И это слагаемое dn
. Т. е., задача свелась к нахождению остатка от деления от степени остатка от деления. Т. е.
A^n modB=d^n modB

Следовательно:
23^ 277 mod 9=5^ 277mod 9

Далее:
5^ 277mod 9=(5⋅ 25^138)mod 9=(5⋅7^ 138)mod 9=(5⋅4^969)mod 9=(5⋅4^69)mod 9=(5⋅64^23)mod 9=(5⋅1^23)mod 9=5 mod 9=5

ОТВЕТ: остаток от деления - 5
================================

На радиофаке (где я учился) теории чисел не было.
Поэтому я действую по прицыпу, изложенному в старом еврейском анекдоте:

-- Авраам, ты умеешь играть на скрипке?
(Пауза. Задумался.)
-- Никогда не пробовал. Наверно умею.