Почему 14^15 даёт тот же остаток при делении на 39, что и просто 14? Иначе говоря почему 14^15 ≡ 14(mod 39)

Это неверное утвержденин. Может, 14^13?

На языке математики это означает что
14¹⁵ = 39k +14
14¹⁵ - 14 = 39k
14(14⁷ -1)(14⁷+1) = 39k
Из трех последовательных натуральных чисел (14⁷ -1) 14⁷(14⁷+1)
одно делится на 2, другое на 3 (Свойство натурального ряда чисел )
14⁷ делится на 2 и не делится на 3 Значит на 3 делится или (14⁷ -1) или (14⁷+1)
Кроме того (14⁷ -1) разлагается на множители, один из которых
14-1 =13
Значит (14¹⁵ - 14) делится на 3*13 = 39 то есть
14¹⁵ ≡ 14(mod 39)

какой именно тот же?

Ща разберся, сек. Напишу кучу фигни, но, надеюсь, не зря: вам же надо понять, какая ошибка в ваших рассуждениях заставила вас так удивиться.

1. Разложим 39 на простые множители: 39 = 3^1 * 13^1
2. Найдем функцию Эйлера от 39:
phi(39) = (3^1 - 3^0)(13^1 - 13^0) = 2*12 = 24.
3. Т. к. НОД (14, 39) = 1, то по теореме Эйлера 14^24 = 1 (mod 39).
4. Применяя теорему Лагранжа (из теориии групп) к мультипликативной группе обратимых элементов кольца Z/39Z, получаем, что порядок 14-ти делит 24.
ord(14) | 24 и, как следует из вашего утверждения, ord(14) | (15 - 1) ==>
ord(14) = 2.

Наверное, квадрат 14 при делении на 39 дает остаток 1, поэтому так и получается. Сейчас калькулятор включу, а то у меня с арифметикой беда. Вот, смотрите:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=14^2mod+39

PS. Только чур не ржать! Я эту двойку так и нашел, честно - это же вполне стандартный путь. Потом уже ответы выше прочитал.

14^2 ≡ 1(mod 39).
Поэтому 14 в чётной степени даёт остаток 1 при делении на 39, а 14 в нечётной степени даёт остаток 14 при делении на 39